Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77292 / 59148
↖ ↑ ↗
← N 17.277219°
E 32.288818°		 ← 291.64 m → N 17.277219°
E 32.291565°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
N 17.274596°
E 32.288818°		 ← 291.65 m →
85 044 m²		 N 17.274596°
E 32.291565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589694976806641 y=0.451267242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589694976806641 × 217)
    floor (0.589694976806641 × 131072)
    floor (77292.5)     		tx = 77292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451267242431641 × 217)
    floor (0.451267242431641 × 131072)
    floor (59148.5)     		ty = 59148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77292 / 59148 ti = "17/77292/59148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77292/59148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77292 ÷ 217
    77292 ÷ 131072     		x = 0.589691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59148 ÷ 217
    59148 ÷ 131072     		y = 0.451263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589691162109375 × 2 - 1) × π
    0.17938232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56354619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451263427734375 × 2 - 1) × π
    0.09747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.306220914772919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56354619} λ = 0.56354619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306220914772919))-π/2
    2×atan(1.35828233804025)-π/2
    2×0.93617033965659-π/2
    1.87234067931318-1.57079632675     		φ = 0.30154435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56354619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.288818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30154435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.277219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77292 KachelY 59148 0.56354619 0.30154435 32.288818 17.277219
    Oben rechts KachelX + 1 77293 KachelY 59148 0.56359413 0.30154435 32.291565 17.277219
    Unten links KachelX 77292 KachelY + 1 59149 0.56354619 0.30149858 32.288818 17.274596
    Unten rechts KachelX + 1 77293 KachelY + 1 59149 0.56359413 0.30149858 32.291565 17.274596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30154435-0.30149858) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30154435-0.30149858) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56354619-0.56359413) × cos(0.30154435) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954878963429243 × 6371000     		do = 291.644614016294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56354619-0.56359413) × cos(0.30149858) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95489255590062 × 6371000     		du = 291.648765506922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30154435)-sin(0.30149858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954878963429243-0.95489255590062)×R²
    abs(0.56359413-0.56354619)×1.35924713766666e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.35924713766666e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.35924713766666e-05×40589641000000     		ar = 85044.3701526901m²