Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7729 / 1567
↖ ↑ ↗
← N 73.640171°
E159.653320°		 ← 1 376.37 m → N 73.640171°
E159.697266°		 →
↑
1 376.84 m
↓
↑
1 376.84 m
↓
N 73.627789°
E159.653320°		 ← 1 377.39 m →
1 895 738 m²		 N 73.627789°
E159.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94354248046875 y=0.19134521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94354248046875 × 213)
    floor (0.94354248046875 × 8192)
    floor (7729.5)     		tx = 7729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19134521484375 × 213)
    floor (0.19134521484375 × 8192)
    floor (1567.5)     		ty = 1567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7729 / 1567 ti = "13/7729/1567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7729/1567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7729 ÷ 213
    7729 ÷ 8192     		x = 0.9434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1567 ÷ 213
    1567 ÷ 8192     		y = 0.1912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9434814453125 × 2 - 1) × π
    0.886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78647610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1912841796875 × 2 - 1) × π
    0.617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93971870622595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78647610} λ = 2.78647610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93971870622595))-π/2
    2×atan(6.95679379259799)-π/2
    2×1.42802988947823-π/2
    2.85605977895646-1.57079632675     		φ = 1.28526345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78647610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28526345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.640171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7729 KachelY 1567 2.78647610 1.28526345 159.653320 73.640171
    Oben rechts KachelX + 1 7730 KachelY 1567 2.78724309 1.28526345 159.697266 73.640171
    Unten links KachelX 7729 KachelY + 1 1568 2.78647610 1.28504734 159.653320 73.627789
    Unten rechts KachelX + 1 7730 KachelY + 1 1568 2.78724309 1.28504734 159.697266 73.627789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28526345-1.28504734) × R
    0.000216109999999992 × 6371000     		dl = 1376.83680999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28526345-1.28504734) × R
    0.000216109999999992 × 6371000     		dr = 1376.83680999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78647610-2.78724309) × cos(1.28526345) × R
    0.000766990000000245 × 0.281668792778338 × 6371000     		do = 1376.37266591419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78647610-2.78724309) × cos(1.28504734) × R
    0.000766990000000245 × 0.281876146271479 × 6371000     		du = 1377.38589736708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28526345)-sin(1.28504734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281668792778338-0.281876146271479)×R²
    abs(2.78724309-2.78647610)×0.000207353493140938×R²
    0.000766990000000245×0.000207353493140938×6371000²
    0.000766990000000245×0.000207353493140938×40589641000000     		ar = 1895738.08526512m²