Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77288 / 59048
↖ ↑ ↗
← N 17.539296°
E 32.277832°		 ← 291.23 m → N 17.539296°
E 32.280579°		 →
↑
291.22 m
↓
↑
291.22 m
↓
N 17.536677°
E 32.277832°		 ← 291.23 m →
84 811 m²		 N 17.536677°
E 32.280579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589664459228516 y=0.450504302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589664459228516 × 217)
    floor (0.589664459228516 × 131072)
    floor (77288.5)     		tx = 77288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450504302978516 × 217)
    floor (0.450504302978516 × 131072)
    floor (59048.5)     		ty = 59048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77288 / 59048 ti = "17/77288/59048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77288/59048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77288 ÷ 217
    77288 ÷ 131072     		x = 0.58966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59048 ÷ 217
    59048 ÷ 131072     		y = 0.45050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58966064453125 × 2 - 1) × π
    0.1793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56335444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45050048828125 × 2 - 1) × π
    0.0989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311014604734924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56335444} λ = 0.56335444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311014604734924))-π/2
    2×atan(1.36480915371652)-π/2
    2×0.938457400088227-π/2
    1.87691480017645-1.57079632675     		φ = 0.30611847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56335444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30611847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.539296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77288 KachelY 59048 0.56335444 0.30611847 32.277832 17.539296
    Oben rechts KachelX + 1 77289 KachelY 59048 0.56340238 0.30611847 32.280579 17.539296
    Unten links KachelX 77288 KachelY + 1 59049 0.56335444 0.30607276 32.277832 17.536677
    Unten rechts KachelX + 1 77289 KachelY + 1 59049 0.56340238 0.30607276 32.280579 17.536677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30611847-0.30607276) × R
    4.57099999999766e-05 × 6371000     		dl = 291.218409999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30611847-0.30607276) × R
    4.57099999999766e-05 × 6371000     		dr = 291.218409999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56335444-0.56340238) × cos(0.30611847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953510487110727 × 6371000     		do = 291.226646123363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56335444-0.56340238) × cos(0.30607276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953524261272708 × 6371000     		du = 291.230853106979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30611847)-sin(0.30607276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953510487110727-0.953524261272708)×R²
    abs(0.56340238-0.56335444)×1.37741619807841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37741619807841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37741619807841e-05×40589641000000     		ar = 84811.1734240245m²