Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77288 / 58952
↖ ↑ ↗
← N 17.790535°
E 32.277832°		 ← 290.82 m → N 17.790535°
E 32.280579°		 →
↑
290.84 m
↓
↑
290.84 m
↓
N 17.787920°
E 32.277832°		 ← 290.82 m →
84 582 m²		 N 17.787920°
E 32.280579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589664459228516 y=0.449771881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589664459228516 × 217)
    floor (0.589664459228516 × 131072)
    floor (77288.5)     		tx = 77288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449771881103516 × 217)
    floor (0.449771881103516 × 131072)
    floor (58952.5)     		ty = 58952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77288 / 58952 ti = "17/77288/58952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77288/58952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77288 ÷ 217
    77288 ÷ 131072     		x = 0.58966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58952 ÷ 217
    58952 ÷ 131072     		y = 0.44976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58966064453125 × 2 - 1) × π
    0.1793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56335444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44976806640625 × 2 - 1) × π
    0.1004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.31561654709845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56335444} λ = 0.56335444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31561654709845))-π/2
    2×atan(1.37110440085138)-π/2
    2×0.94064987254851-π/2
    1.88129974509702-1.57079632675     		φ = 0.31050342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56335444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31050342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.790535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77288 KachelY 58952 0.56335444 0.31050342 32.277832 17.790535
    Oben rechts KachelX + 1 77289 KachelY 58952 0.56340238 0.31050342 32.280579 17.790535
    Unten links KachelX 77288 KachelY + 1 58953 0.56335444 0.31045777 32.277832 17.787920
    Unten rechts KachelX + 1 77289 KachelY + 1 58953 0.56340238 0.31045777 32.280579 17.787920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31050342-0.31045777) × R
    4.56499999999527e-05 × 6371000     		dl = 290.836149999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31050342-0.31045777) × R
    4.56499999999527e-05 × 6371000     		dr = 290.836149999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56335444-0.56340238) × cos(0.31050342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952179876597688 × 6371000     		do = 290.820243422767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56335444-0.56340238) × cos(0.31045777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952193823416232 × 6371000     		du = 290.824503140141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31050342)-sin(0.31045777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952179876597688-0.952193823416232)×R²
    abs(0.56340238-0.56335444)×1.39468185436087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39468185436087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39468185436087e-05×40589641000000     		ar = 84581.6593936663m²