Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77287 / 59145
↖ ↑ ↗
← N 17.285086°
E 32.275086°		 ← 291.57 m → N 17.285086°
E 32.277832°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
N 17.282464°
E 32.275086°		 ← 291.58 m →
85 023 m²		 N 17.282464°
E 32.277832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589656829833984 y=0.451244354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589656829833984 × 217)
    floor (0.589656829833984 × 131072)
    floor (77287.5)     		tx = 77287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451244354248047 × 217)
    floor (0.451244354248047 × 131072)
    floor (59145.5)     		ty = 59145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77287 / 59145 ti = "17/77287/59145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77287/59145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77287 ÷ 217
    77287 ÷ 131072     		x = 0.589653015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59145 ÷ 217
    59145 ÷ 131072     		y = 0.451240539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589653015136719 × 2 - 1) × π
    0.179306030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.56330651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451240539550781 × 2 - 1) × π
    0.0975189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306364725471779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56330651} λ = 0.56330651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306364725471779))-π/2
    2×atan(1.35847768761887)-π/2
    2×0.936238999095579-π/2
    1.87247799819116-1.57079632675     		φ = 0.30168167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56330651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.275086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30168167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.285086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77287 KachelY 59145 0.56330651 0.30168167 32.275086 17.285086
    Oben rechts KachelX + 1 77288 KachelY 59145 0.56335444 0.30168167 32.277832 17.285086
    Unten links KachelX 77287 KachelY + 1 59146 0.56330651 0.30163590 32.275086 17.282464
    Unten rechts KachelX + 1 77288 KachelY + 1 59146 0.56335444 0.30163590 32.277832 17.282464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30168167-0.30163590) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30168167-0.30163590) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56330651-0.56335444) × cos(0.30168167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954838171041749 × 6371000     		do = 291.571322230974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56330651-0.56335444) × cos(0.30163590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954851769514585 × 6371000     		du = 291.575474688244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30168167)-sin(0.30163590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954838171041749-0.954851769514585)×R²
    abs(0.56335444-0.56330651)×1.35984728357741e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35984728357741e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35984728357741e-05×40589641000000     		ar = 85022.9983598317m²