Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77280 / 57548
↖ ↑ ↗
← N 21.422390°
E 32.255859°		 ← 284.32 m → N 21.422390°
E 32.258606°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.419833°
E 32.255859°		 ← 284.33 m →
80 845 m²		 N 21.419833°
E 32.258606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589603424072266 y=0.439060211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589603424072266 × 217)
    floor (0.589603424072266 × 131072)
    floor (77280.5)     		tx = 77280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439060211181641 × 217)
    floor (0.439060211181641 × 131072)
    floor (57548.5)     		ty = 57548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77280 / 57548 ti = "17/77280/57548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77280/57548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77280 ÷ 217
    77280 ÷ 131072     		x = 0.589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57548 ÷ 217
    57548 ÷ 131072     		y = 0.439056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589599609375 × 2 - 1) × π
    0.17919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56297095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    0.12188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.382919954165009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56297095} λ = 0.56297095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382919954165009))-π/2
    2×atan(1.46656063329944)-π/2
    2×0.972343782138496-π/2
    1.94468756427699-1.57079632675     		φ = 0.37389124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56297095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37389124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.422390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77280 KachelY 57548 0.56297095 0.37389124 32.255859 21.422390
    Oben rechts KachelX + 1 77281 KachelY 57548 0.56301889 0.37389124 32.258606 21.422390
    Unten links KachelX 77280 KachelY + 1 57549 0.56297095 0.37384661 32.255859 21.419833
    Unten rechts KachelX + 1 77281 KachelY + 1 57549 0.56301889 0.37384661 32.258606 21.419833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37389124-0.37384661) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37389124-0.37384661) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56297095-0.56301889) × cos(0.37389124) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930913158199329 × 6371000     		do = 284.324840219239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56297095-0.56301889) × cos(0.37384661) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930929457959944 × 6371000     		du = 284.329818585687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37389124)-sin(0.37384661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930913158199329-0.930929457959944)×R²
    abs(0.56301889-0.56297095)×1.62997606147908e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.62997606147908e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.62997606147908e-05×40589641000000     		ar = 80844.9874326503m²