Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7728 / 9518
↖ ↑ ↗
← S 27.955591°
W 10.195312°		 ← 2 158.12 m → S 27.955591°
W 10.173340°		 →
↑
2 157.92 m
↓
↑
2 157.92 m
↓
S 27.974998°
W 10.195312°		 ← 2 157.73 m →
4 656 633 m²		 S 27.974998°
W 10.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471710205078125 y=0.580963134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471710205078125 × 214)
    floor (0.471710205078125 × 16384)
    floor (7728.5)     		tx = 7728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580963134765625 × 214)
    floor (0.580963134765625 × 16384)
    floor (9518.5)     		ty = 9518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7728 / 9518 ti = "14/7728/9518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7728/9518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7728 ÷ 214
    7728 ÷ 16384     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9518 ÷ 214
    9518 ÷ 16384     		y = 0.5809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.508514631169556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508514631169556))-π/2
    2×atan(0.601388198998837)-π/2
    2×0.541439609717907-π/2
    1.08287921943581-1.57079632675     		φ = -0.48791711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48791711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.955591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7728 KachelY 9518 -0.17794177 -0.48791711 -10.195312 -27.955591
    Oben rechts KachelX + 1 7729 KachelY 9518 -0.17755828 -0.48791711 -10.173340 -27.955591
    Unten links KachelX 7728 KachelY + 1 9519 -0.17794177 -0.48825582 -10.195312 -27.974998
    Unten rechts KachelX + 1 7729 KachelY + 1 9519 -0.17755828 -0.48825582 -10.173340 -27.974998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48791711--0.48825582) × R
    0.00033871000000002 × 6371000     		dl = 2157.92141000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48791711--0.48825582) × R
    0.00033871000000002 × 6371000     		dr = 2157.92141000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17755828) × cos(-0.48791711) × R
    0.000383489999999986 × 0.883311205888223 × 6371000     		do = 2158.11900239876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17755828) × cos(-0.48825582) × R
    0.000383489999999986 × 0.883152372355323 × 6371000     		du = 2157.73093796203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48791711)-sin(-0.48825582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883311205888223-0.883152372355323)×R²
    abs(-0.17755828--0.17794177)×0.00015883353290036×R²
    0.000383489999999986×0.00015883353290036×6371000²
    0.000383489999999986×0.00015883353290036×40589641000000     		ar = 4656632.53884532m²