Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7728 / 1584
↖ ↑ ↗
← N 73.428424°
E159.609375°		 ← 1 393.69 m → N 73.428424°
E159.653320°		 →
↑
1 394.23 m
↓
↑
1 394.23 m
↓
N 73.415885°
E159.609375°		 ← 1 394.72 m →
1 943 840 m²		 N 73.415885°
E159.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94342041015625 y=0.19342041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94342041015625 × 213)
    floor (0.94342041015625 × 8192)
    floor (7728.5)     		tx = 7728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19342041015625 × 213)
    floor (0.19342041015625 × 8192)
    floor (1584.5)     		ty = 1584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7728 / 1584 ti = "13/7728/1584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7728/1584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7728 ÷ 213
    7728 ÷ 8192     		x = 0.943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1584 ÷ 213
    1584 ÷ 8192     		y = 0.193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943359375 × 2 - 1) × π
    0.88671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78570911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193359375 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9266798695293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78570911} λ = 2.78570911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9266798695293))-π/2
    2×atan(6.86667409916354)-π/2
    2×1.42618204193254-π/2
    2.85236408386507-1.57079632675     		φ = 1.28156776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78570911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28156776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.428424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7728 KachelY 1584 2.78570911 1.28156776 159.609375 73.428424
    Oben rechts KachelX + 1 7729 KachelY 1584 2.78647610 1.28156776 159.653320 73.428424
    Unten links KachelX 7728 KachelY + 1 1585 2.78570911 1.28134892 159.609375 73.415885
    Unten rechts KachelX + 1 7729 KachelY + 1 1585 2.78647610 1.28134892 159.653320 73.415885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28156776-1.28134892) × R
    0.000218840000000053 × 6371000     		dl = 1394.22964000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28156776-1.28134892) × R
    0.000218840000000053 × 6371000     		dr = 1394.22964000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78570911-2.78647610) × cos(1.28156776) × R
    0.000766989999999801 × 0.285212918947603 × 6371000     		do = 1393.69101465842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78570911-2.78647610) × cos(1.28134892) × R
    0.000766989999999801 × 0.285422662418267 × 6371000     		du = 1394.71592472043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28156776)-sin(1.28134892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285212918947603-0.285422662418267)×R²
    abs(2.78647610-2.78570911)×0.000209743470663493×R²
    0.000766989999999801×0.000209743470663493×6371000²
    0.000766989999999801×0.000209743470663493×40589641000000     		ar = 1943839.8093894m²