Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77279 / 59030
↖ ↑ ↗
← N 17.586431°
E 32.253113°		 ← 291.15 m → N 17.586431°
E 32.255859°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.583812°
E 32.253113°		 ← 291.16 m →
84 771 m²		 N 17.583812°
E 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589595794677734 y=0.450366973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589595794677734 × 217)
    floor (0.589595794677734 × 131072)
    floor (77279.5)     		tx = 77279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450366973876953 × 217)
    floor (0.450366973876953 × 131072)
    floor (59030.5)     		ty = 59030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77279 / 59030 ti = "17/77279/59030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77279/59030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77279 ÷ 217
    77279 ÷ 131072     		x = 0.589591979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59030 ÷ 217
    59030 ÷ 131072     		y = 0.450363159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589591979980469 × 2 - 1) × π
    0.179183959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.56292301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450363159179688 × 2 - 1) × π
    0.099273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311877468928085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56292301} λ = 0.56292301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311877468928085))-π/2
    2×atan(1.36598730688575)-π/2
    2×0.93886872158913-π/2
    1.87773744317826-1.57079632675     		φ = 0.30694112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56292301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.253113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30694112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.586431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77279 KachelY 59030 0.56292301 0.30694112 32.253113 17.586431
    Oben rechts KachelX + 1 77280 KachelY 59030 0.56297095 0.30694112 32.255859 17.586431
    Unten links KachelX 77279 KachelY + 1 59031 0.56292301 0.30689542 32.253113 17.583812
    Unten rechts KachelX + 1 77280 KachelY + 1 59031 0.56297095 0.30689542 32.255859 17.583812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30694112-0.30689542) × R
    4.57000000000374e-05 × 6371000     		dl = 291.154700000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30694112-0.30689542) × R
    4.57000000000374e-05 × 6371000     		dr = 291.154700000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56292301-0.56297095) × cos(0.30694112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953262250823776 × 6371000     		do = 291.150828371727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56292301-0.56297095) × cos(0.30689542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953276057815516 × 6371000     		du = 291.155045382396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30694112)-sin(0.30689542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953262250823776-0.953276057815516)×R²
    abs(0.56297095-0.56292301)×1.38069917401396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38069917401396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38069917401396e-05×40589641000000     		ar = 84770.5460053697m²