Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77277 / 57547
↖ ↑ ↗
← N 21.424947°
E 32.247620°		 ← 284.32 m → N 21.424947°
E 32.250366°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 21.422390°
E 32.247620°		 ← 284.32 m →
80 825 m²		 N 21.422390°
E 32.250366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589580535888672 y=0.439052581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589580535888672 × 217)
    floor (0.589580535888672 × 131072)
    floor (77277.5)     		tx = 77277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439052581787109 × 217)
    floor (0.439052581787109 × 131072)
    floor (57547.5)     		ty = 57547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77277 / 57547 ti = "17/77277/57547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77277/57547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77277 ÷ 217
    77277 ÷ 131072     		x = 0.589576721191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57547 ÷ 217
    57547 ÷ 131072     		y = 0.439048767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589576721191406 × 2 - 1) × π
    0.179153442382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.56282714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439048767089844 × 2 - 1) × π
    0.121902465820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.382967891064629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56282714} λ = 0.56282714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382967891064629))-π/2
    2×atan(1.46663093735437)-π/2
    2×0.972366094488492-π/2
    1.94473218897698-1.57079632675     		φ = 0.37393586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56282714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.247620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37393586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.424947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77277 KachelY 57547 0.56282714 0.37393586 32.247620 21.424947
    Oben rechts KachelX + 1 77278 KachelY 57547 0.56287508 0.37393586 32.250366 21.424947
    Unten links KachelX 77277 KachelY + 1 57548 0.56282714 0.37389124 32.247620 21.422390
    Unten rechts KachelX + 1 77278 KachelY + 1 57548 0.56287508 0.37389124 32.250366 21.422390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37393586-0.37389124) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dl = 284.27401999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37393586-0.37389124) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dr = 284.27401999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56282714-0.56287508) × cos(0.37393586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930896860237308 × 6371000     		do = 284.31986240147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56282714-0.56287508) × cos(0.37389124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930913158199329 × 6371000     		du = 284.324840218581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37393586)-sin(0.37389124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930896860237308-0.930913158199329)×R²
    abs(0.56287508-0.56282714)×1.62979620206283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62979620206283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62979620206283e-05×40589641000000     		ar = 80825.457796155m²