Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77275 / 57545
↖ ↑ ↗
← N 21.430060°
E 32.242126°		 ← 284.31 m → N 21.430060°
E 32.244873°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 21.427504°
E 32.242126°		 ← 284.31 m →
80 823 m²		 N 21.427504°
E 32.244873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589565277099609 y=0.439037322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589565277099609 × 217)
    floor (0.589565277099609 × 131072)
    floor (77275.5)     		tx = 77275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439037322998047 × 217)
    floor (0.439037322998047 × 131072)
    floor (57545.5)     		ty = 57545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77275 / 57545 ti = "17/77275/57545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77275/57545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77275 ÷ 217
    77275 ÷ 131072     		x = 0.589561462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57545 ÷ 217
    57545 ÷ 131072     		y = 0.439033508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589561462402344 × 2 - 1) × π
    0.179122924804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.56273126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439033508300781 × 2 - 1) × π
    0.121932983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.383063764863869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56273126} λ = 0.56273126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383063764863869))-π/2
    2×atan(1.46677155557511)-π/2
    2×0.972410718016356-π/2
    1.94482143603271-1.57079632675     		φ = 0.37402511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56273126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.242126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37402511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.430060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77275 KachelY 57545 0.56273126 0.37402511 32.242126 21.430060
    Oben rechts KachelX + 1 77276 KachelY 57545 0.56277920 0.37402511 32.244873 21.430060
    Unten links KachelX 77275 KachelY + 1 57546 0.56273126 0.37398049 32.242126 21.427504
    Unten rechts KachelX + 1 77276 KachelY + 1 57546 0.56277920 0.37398049 32.244873 21.427504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37402511-0.37398049) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dl = 284.27401999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37402511-0.37398049) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dr = 284.27401999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56273126-0.56277920) × cos(0.37402511) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930864255099556 × 6371000     		do = 284.309903953803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56273126-0.56277920) × cos(0.37398049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930880556768687 × 6371000     		du = 284.31488290316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37402511)-sin(0.37398049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930864255099556-0.930880556768687)×R²
    abs(0.56277920-0.56273126)×1.63016691312468e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.63016691312468e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.63016691312468e-05×40589641000000     		ar = 80822.6270291476m²