Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77271 / 57557
↖ ↑ ↗
← N 21.399377°
E 32.231140°		 ← 284.31 m → N 21.399377°
E 32.233886°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.396820°
E 32.231140°		 ← 284.32 m →
80 841 m²		 N 21.396820°
E 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589534759521484 y=0.439128875732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589534759521484 × 217)
    floor (0.589534759521484 × 131072)
    floor (77271.5)     		tx = 77271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439128875732422 × 217)
    floor (0.439128875732422 × 131072)
    floor (57557.5)     		ty = 57557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77271 / 57557 ti = "17/77271/57557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77271/57557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77271 ÷ 217
    77271 ÷ 131072     		x = 0.589530944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57557 ÷ 217
    57557 ÷ 131072     		y = 0.439125061035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589530944824219 × 2 - 1) × π
    0.179061889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.56253952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439125061035156 × 2 - 1) × π
    0.121749877929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.382488522068428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56253952} λ = 0.56253952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382488522068428))-π/2
    2×atan(1.46592804843917)-π/2
    2×0.972142953413379-π/2
    1.94428590682676-1.57079632675     		φ = 0.37348958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56253952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.231140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37348958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.399377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77271 KachelY 57557 0.56253952 0.37348958 32.231140 21.399377
    Oben rechts KachelX + 1 77272 KachelY 57557 0.56258745 0.37348958 32.233886 21.399377
    Unten links KachelX 77271 KachelY + 1 57558 0.56253952 0.37344495 32.231140 21.396820
    Unten rechts KachelX + 1 77272 KachelY + 1 57558 0.56258745 0.37344495 32.233886 21.396820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37348958-0.37344495) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37348958-0.37344495) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56253952-0.56258745) × cos(0.37348958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931059785640122 × 6371000     		do = 284.310306194607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56253952-0.56258745) × cos(0.37344495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931076068711647 × 6371000     		du = 284.315278426382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37348958)-sin(0.37344495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931059785640122-0.931076068711647)×R²
    abs(0.56258745-0.56253952)×1.6283071525236e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6283071525236e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6283071525236e-05×40589641000000     		ar = 80840.8539889148m²