Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77270 / 57556
↖ ↑ ↗
← N 21.401934°
E 32.228394°		 ← 284.36 m → N 21.401934°
E 32.231140°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.399377°
E 32.228394°		 ← 284.37 m →
80 856 m²		 N 21.399377°
E 32.231140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589527130126953 y=0.439121246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589527130126953 × 217)
    floor (0.589527130126953 × 131072)
    floor (77270.5)     		tx = 77270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439121246337891 × 217)
    floor (0.439121246337891 × 131072)
    floor (57556.5)     		ty = 57556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77270 / 57556 ti = "17/77270/57556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77270/57556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77270 ÷ 217
    77270 ÷ 131072     		x = 0.589523315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57556 ÷ 217
    57556 ÷ 131072     		y = 0.439117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589523315429688 × 2 - 1) × π
    0.179046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56249158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439117431640625 × 2 - 1) × π
    0.12176513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.382536458968048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56249158} λ = 0.56249158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382536458968048))-π/2
    2×atan(1.46599832216922)-π/2
    2×0.972165269277954-π/2
    1.94433053855591-1.57079632675     		φ = 0.37353421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56249158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.228394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37353421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.401934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77270 KachelY 57556 0.56249158 0.37353421 32.228394 21.401934
    Oben rechts KachelX + 1 77271 KachelY 57556 0.56253952 0.37353421 32.231140 21.401934
    Unten links KachelX 77270 KachelY + 1 57557 0.56249158 0.37348958 32.228394 21.399377
    Unten rechts KachelX + 1 77271 KachelY + 1 57557 0.56253952 0.37348958 32.231140 21.399377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37353421-0.37348958) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37353421-0.37348958) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56249158-0.56253952) × cos(0.37353421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931043500714078 × 6371000     		do = 284.364650177601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56249158-0.56253952) × cos(0.37348958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931059785640122 × 6371000     		du = 284.369624013189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37353421)-sin(0.37348958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931043500714078-0.931059785640122)×R²
    abs(0.56253952-0.56249158)×1.62849260443299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62849260443299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62849260443299e-05×40589641000000     		ar = 80856.3062616688m²