Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7727 / 9522
↖ ↑ ↗
← S 28.033198°
W 10.217285°		 ← 2 156.62 m → S 28.033198°
W 10.195312°		 →
↑
2 156.39 m
↓
↑
2 156.39 m
↓
S 28.052591°
W 10.217285°		 ← 2 156.23 m →
4 650 104 m²		 S 28.052591°
W 10.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471649169921875 y=0.581207275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471649169921875 × 214)
    floor (0.471649169921875 × 16384)
    floor (7727.5)     		tx = 7727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581207275390625 × 214)
    floor (0.581207275390625 × 16384)
    floor (9522.5)     		ty = 9522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7727 / 9522 ti = "14/7727/9522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7727/9522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7727 ÷ 214
    7727 ÷ 16384     		x = 0.47161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9522 ÷ 214
    9522 ÷ 16384     		y = 0.5811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.0567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17832527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17832527} λ = -0.17832527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510048611957397))-π/2
    2×atan(0.600466388256282)-π/2
    2×0.540762362251412-π/2
    1.08152472450282-1.57079632675     		φ = -0.48927160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17832527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48927160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.033198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7727 KachelY 9522 -0.17832527 -0.48927160 -10.217285 -28.033198
    Oben rechts KachelX + 1 7728 KachelY 9522 -0.17794177 -0.48927160 -10.195312 -28.033198
    Unten links KachelX 7727 KachelY + 1 9523 -0.17832527 -0.48961007 -10.217285 -28.052591
    Unten rechts KachelX + 1 7728 KachelY + 1 9523 -0.17794177 -0.48961007 -10.195312 -28.052591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48927160--0.48961007) × R
    0.000338470000000035 × 6371000     		dl = 2156.39237000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48927160--0.48961007) × R
    0.000338470000000035 × 6371000     		dr = 2156.39237000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17832527--0.17794177) × cos(-0.48927160) × R
    0.000383500000000009 × 0.882675428408608 × 6371000     		do = 2156.62189670909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17832527--0.17794177) × cos(-0.48961007) × R
    0.000383500000000009 × 0.882516302680718 × 6371000     		du = 2156.23310823934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48927160)-sin(-0.48961007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882675428408608-0.882516302680718)×R²
    abs(-0.17794177--0.17832527)×0.000159125727889342×R²
    0.000383500000000009×0.000159125727889342×6371000²
    0.000383500000000009×0.000159125727889342×40589641000000     		ar = 4650103.85718803m²