Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7727 / 1562
↖ ↑ ↗
← N 73.701948°
E159.565430°		 ← 1 371.32 m → N 73.701948°
E159.609375°		 →
↑
1 371.80 m
↓
↑
1 371.80 m
↓
N 73.689611°
E159.565430°		 ← 1 372.33 m →
1 881 870 m²		 N 73.689611°
E159.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94329833984375 y=0.19073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94329833984375 × 213)
    floor (0.94329833984375 × 8192)
    floor (7727.5)     		tx = 7727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19073486328125 × 213)
    floor (0.19073486328125 × 8192)
    floor (1562.5)     		ty = 1562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7727 / 1562 ti = "13/7727/1562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7727/1562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7727 ÷ 213
    7727 ÷ 8192     		x = 0.9432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1562 ÷ 213
    1562 ÷ 8192     		y = 0.190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9432373046875 × 2 - 1) × π
    0.886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78494212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190673828125 × 2 - 1) × π
    0.61865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94355365819556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78494212} λ = 2.78494212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94355365819556))-π/2
    2×atan(6.98352398439613)-π/2
    2×1.42856899004791-π/2
    2.85713798009583-1.57079632675     		φ = 1.28634165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78494212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28634165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.701948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7727 KachelY 1562 2.78494212 1.28634165 159.565430 73.701948
    Oben rechts KachelX + 1 7728 KachelY 1562 2.78570911 1.28634165 159.609375 73.701948
    Unten links KachelX 7727 KachelY + 1 1563 2.78494212 1.28612633 159.565430 73.689611
    Unten rechts KachelX + 1 7728 KachelY + 1 1563 2.78570911 1.28612633 159.609375 73.689611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28634165-1.28612633) × R
    0.000215319999999908 × 6371000     		dl = 1371.80371999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28634165-1.28612633) × R
    0.000215319999999908 × 6371000     		dr = 1371.80371999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78494212-2.78570911) × cos(1.28634165) × R
    0.000766989999999801 × 0.280634083748055 × 6371000     		do = 1371.31656717981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78494212-2.78570911) × cos(1.28612633) × R
    0.000766989999999801 × 0.28084074457053 × 6371000     		du = 1372.32641390214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28634165)-sin(1.28612633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280634083748055-0.28084074457053)×R²
    abs(2.78570911-2.78494212)×0.00020666082247478×R²
    0.000766989999999801×0.00020666082247478×6371000²
    0.000766989999999801×0.00020666082247478×40589641000000     		ar = 1881869.83117069m²