Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77265 / 59090
↖ ↑ ↗
← N 17.429270°
E 32.214661°		 ← 291.34 m → N 17.429270°
E 32.217407°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.426649°
E 32.214661°		 ← 291.35 m →
84 882 m²		 N 17.426649°
E 32.217407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589488983154297 y=0.450824737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589488983154297 × 217)
    floor (0.589488983154297 × 131072)
    floor (77265.5)     		tx = 77265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450824737548828 × 217)
    floor (0.450824737548828 × 131072)
    floor (59090.5)     		ty = 59090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77265 / 59090 ti = "17/77265/59090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77265/59090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77265 ÷ 217
    77265 ÷ 131072     		x = 0.589485168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59090 ÷ 217
    59090 ÷ 131072     		y = 0.450820922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589485168457031 × 2 - 1) × π
    0.178970336914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.56225190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450820922851562 × 2 - 1) × π
    0.098358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.309001254950882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56225190} λ = 0.56225190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309001254950882))-π/2
    2×atan(1.36206407982587)-π/2
    2×0.93749723435511-π/2
    1.87499446871022-1.57079632675     		φ = 0.30419814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56225190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.214661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30419814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.429270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77265 KachelY 59090 0.56225190 0.30419814 32.214661 17.429270
    Oben rechts KachelX + 1 77266 KachelY 59090 0.56229983 0.30419814 32.217407 17.429270
    Unten links KachelX 77265 KachelY + 1 59091 0.56225190 0.30415241 32.214661 17.426649
    Unten rechts KachelX + 1 77266 KachelY + 1 59091 0.56229983 0.30415241 32.217407 17.426649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30419814-0.30415241) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30419814-0.30415241) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56225190-0.56229983) × cos(0.30419814) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.954087438975414 × 6371000     		do = 291.342077162537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56225190-0.56229983) × cos(0.30415241) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.954101135403622 × 6371000     		du = 291.346259531658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30419814)-sin(0.30415241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954087438975414-0.954101135403622)×R²
    abs(0.56229983-0.56225190)×1.36964282079211e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.36964282079211e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.36964282079211e-05×40589641000000     		ar = 84881.9085575365m²