Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77264 / 59024
↖ ↑ ↗
← N 17.602139°
E 32.211914°		 ← 291.13 m → N 17.602139°
E 32.214661°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
N 17.599521°
E 32.211914°		 ← 291.13 m →
84 745 m²		 N 17.599521°
E 32.214661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589481353759766 y=0.450321197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589481353759766 × 217)
    floor (0.589481353759766 × 131072)
    floor (77264.5)     		tx = 77264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450321197509766 × 217)
    floor (0.450321197509766 × 131072)
    floor (59024.5)     		ty = 59024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77264 / 59024 ti = "17/77264/59024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77264/59024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77264 ÷ 217
    77264 ÷ 131072     		x = 0.5894775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59024 ÷ 217
    59024 ÷ 131072     		y = 0.4503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5894775390625 × 2 - 1) × π
    0.178955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56220396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    0.099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312165090325806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56220396} λ = 0.56220396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312165090325806))-π/2
    2×atan(1.36638025057102)-π/2
    2×0.939005804941486-π/2
    1.87801160988297-1.57079632675     		φ = 0.30721528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56220396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.211914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30721528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.602139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77264 KachelY 59024 0.56220396 0.30721528 32.211914 17.602139
    Oben rechts KachelX + 1 77265 KachelY 59024 0.56225190 0.30721528 32.214661 17.602139
    Unten links KachelX 77264 KachelY + 1 59025 0.56220396 0.30716959 32.211914 17.599521
    Unten rechts KachelX + 1 77265 KachelY + 1 59025 0.56225190 0.30716959 32.214661 17.599521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30721528-0.30716959) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30721528-0.30716959) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56220396-0.56225190) × cos(0.30721528) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953179379162112 × 6371000     		do = 291.125517233812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56220396-0.56225190) × cos(0.30716959) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95319319507333 × 6371000     		du = 291.12973696872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30721528)-sin(0.30716959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953179379162112-0.95319319507333)×R²
    abs(0.56225190-0.56220396)×1.38159112178515e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.38159112178515e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.38159112178515e-05×40589641000000     		ar = 84744.6292039826m²