Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7726 / 1653
↖ ↑ ↗
← N 72.541319°
E159.521484°		 ← 1 466.04 m → N 72.541319°
E159.565430°		 →
↑
1 466.60 m
↓
↑
1 466.60 m
↓
N 72.528129°
E159.521484°		 ← 1 467.11 m →
2 150 881 m²		 N 72.528129°
E159.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94317626953125 y=0.20184326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94317626953125 × 213)
    floor (0.94317626953125 × 8192)
    floor (7726.5)     		tx = 7726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20184326171875 × 213)
    floor (0.20184326171875 × 8192)
    floor (1653.5)     		ty = 1653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7726 / 1653 ti = "13/7726/1653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7726/1653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7726 ÷ 213
    7726 ÷ 8192     		x = 0.943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1653 ÷ 213
    1653 ÷ 8192     		y = 0.2017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943115234375 × 2 - 1) × π
    0.88623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78417513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2017822265625 × 2 - 1) × π
    0.596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87375753234875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78417513} λ = 2.78417513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87375753234875))-π/2
    2×atan(6.51272224460818)-π/2
    2×1.41844059297904-π/2
    2.83688118595807-1.57079632675     		φ = 1.26608486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78417513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26608486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.541319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7726 KachelY 1653 2.78417513 1.26608486 159.521484 72.541319
    Oben rechts KachelX + 1 7727 KachelY 1653 2.78494212 1.26608486 159.565430 72.541319
    Unten links KachelX 7726 KachelY + 1 1654 2.78417513 1.26585466 159.521484 72.528129
    Unten rechts KachelX + 1 7727 KachelY + 1 1654 2.78494212 1.26585466 159.565430 72.528129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26608486-1.26585466) × R
    0.000230200000000069 × 6371000     		dl = 1466.60420000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26608486-1.26585466) × R
    0.000230200000000069 × 6371000     		dr = 1466.60420000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78417513-2.78494212) × cos(1.26608486) × R
    0.000766990000000245 × 0.300017946194763 × 6371000     		do = 1466.03568096076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78417513-2.78494212) × cos(1.26585466) × R
    0.000766990000000245 × 0.300237533748458 × 6371000     		du = 1467.10869406846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26608486)-sin(1.26585466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300017946194763-0.300237533748458)×R²
    abs(2.78494212-2.78417513)×0.000219587553695888×R²
    0.000766990000000245×0.000219587553695888×6371000²
    0.000766990000000245×0.000219587553695888×40589641000000     		ar = 2150880.93931004m²