Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77256 / 59092
↖ ↑ ↗
← N 17.424029°
E 32.189941°		 ← 291.41 m → N 17.424029°
E 32.192688°		 →
↑
291.41 m
↓
↑
291.41 m
↓
N 17.421408°
E 32.189941°		 ← 291.42 m →
84 921 m²		 N 17.421408°
E 32.192688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589420318603516 y=0.450839996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589420318603516 × 217)
    floor (0.589420318603516 × 131072)
    floor (77256.5)     		tx = 77256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450839996337891 × 217)
    floor (0.450839996337891 × 131072)
    floor (59092.5)     		ty = 59092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77256 / 59092 ti = "17/77256/59092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77256/59092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77256 ÷ 217
    77256 ÷ 131072     		x = 0.58941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59092 ÷ 217
    59092 ÷ 131072     		y = 0.450836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58941650390625 × 2 - 1) × π
    0.1788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56182046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450836181640625 × 2 - 1) × π
    0.09832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.308905381151642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56182046} λ = 0.56182046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308905381151642))-π/2
    2×atan(1.36193349982743)-π/2
    2×0.937451497704706-π/2
    1.87490299540941-1.57079632675     		φ = 0.30410667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56182046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.189941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30410667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.424029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77256 KachelY 59092 0.56182046 0.30410667 32.189941 17.424029
    Oben rechts KachelX + 1 77257 KachelY 59092 0.56186840 0.30410667 32.192688 17.424029
    Unten links KachelX 77256 KachelY + 1 59093 0.56182046 0.30406093 32.189941 17.421408
    Unten rechts KachelX + 1 77257 KachelY + 1 59093 0.56186840 0.30406093 32.192688 17.421408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30410667-0.30406093) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dl = 291.409540000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30410667-0.30406093) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dr = 291.409540000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56182046-0.56186840) × cos(0.30410667) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954114832830991 × 6371000     		do = 291.411228862866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56182046-0.56186840) × cos(0.30406093) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954128528262212 × 6371000     		du = 291.415411800081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30410667)-sin(0.30406093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954114832830991-0.954128528262212)×R²
    abs(0.56186840-0.56182046)×1.36954312207616e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.36954312207616e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.36954312207616e-05×40589641000000     		ar = 84920.6216424905m²