Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77255 / 59980
↖ ↑ ↗
← N 15.082732°
E 32.187195°		 ← 294.84 m → N 15.082732°
E 32.189941°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.080080°
E 32.187195°		 ← 294.85 m →
86 954 m²		 N 15.080080°
E 32.189941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589412689208984 y=0.457614898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589412689208984 × 217)
    floor (0.589412689208984 × 131072)
    floor (77255.5)     		tx = 77255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457614898681641 × 217)
    floor (0.457614898681641 × 131072)
    floor (59980.5)     		ty = 59980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77255 / 59980 ti = "17/77255/59980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77255/59980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77255 ÷ 217
    77255 ÷ 131072     		x = 0.589408874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59980 ÷ 217
    59980 ÷ 131072     		y = 0.457611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589408874511719 × 2 - 1) × π
    0.178817749023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.56177253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457611083984375 × 2 - 1) × π
    0.08477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.266337414289032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56177253} λ = 0.56177253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266337414289032))-π/2
    2×atan(1.30517536921848)-π/2
    2×0.917019827325948-π/2
    1.8340396546519-1.57079632675     		φ = 0.26324333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56177253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.187195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26324333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.082732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77255 KachelY 59980 0.56177253 0.26324333 32.187195 15.082732
    Oben rechts KachelX + 1 77256 KachelY 59980 0.56182046 0.26324333 32.189941 15.082732
    Unten links KachelX 77255 KachelY + 1 59981 0.56177253 0.26319704 32.187195 15.080080
    Unten rechts KachelX + 1 77256 KachelY + 1 59981 0.56182046 0.26319704 32.189941 15.080080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26324333-0.26319704) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dl = 294.913590000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26324333-0.26319704) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dr = 294.913590000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56177253-0.56182046) × cos(0.26324333) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.965551099714761 × 6371000     		do = 294.842643877129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56177253-0.56182046) × cos(0.26319704) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.965563143963932 × 6371000     		du = 294.846321733506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26324333)-sin(0.26319704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965551099714761-0.965563143963932)×R²
    abs(0.56182046-0.56177253)×1.2044249171006e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.2044249171006e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.2044249171006e-05×40589641000000     		ar = 86953.6449313206m²