Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77254 / 60478
↖ ↑ ↗
← N 13.758060°
E 32.184448°		 ← 296.66 m → N 13.758060°
E 32.187195°		 →
↑
296.63 m
↓
↑
296.63 m
↓
N 13.755393°
E 32.184448°		 ← 296.67 m →
88 001 m²		 N 13.755393°
E 32.187195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589405059814453 y=0.461414337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589405059814453 × 217)
    floor (0.589405059814453 × 131072)
    floor (77254.5)     		tx = 77254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461414337158203 × 217)
    floor (0.461414337158203 × 131072)
    floor (60478.5)     		ty = 60478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77254 / 60478 ti = "17/77254/60478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77254/60478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77254 ÷ 217
    77254 ÷ 131072     		x = 0.589401245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60478 ÷ 217
    60478 ÷ 131072     		y = 0.461410522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589401245117188 × 2 - 1) × π
    0.178802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56172459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461410522460938 × 2 - 1) × π
    0.077178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.242464838278244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56172459} λ = 0.56172459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242464838278244))-π/2
    2×atan(1.27438643875425)-π/2
    2×0.905459888705781-π/2
    1.81091977741156-1.57079632675     		φ = 0.24012345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56172459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.184448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24012345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.758060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77254 KachelY 60478 0.56172459 0.24012345 32.184448 13.758060
    Oben rechts KachelX + 1 77255 KachelY 60478 0.56177253 0.24012345 32.187195 13.758060
    Unten links KachelX 77254 KachelY + 1 60479 0.56172459 0.24007689 32.184448 13.755393
    Unten rechts KachelX + 1 77255 KachelY + 1 60479 0.56177253 0.24007689 32.187195 13.755393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24012345-0.24007689) × R
    4.6560000000001e-05 × 6371000     		dl = 296.633760000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24012345-0.24007689) × R
    4.6560000000001e-05 × 6371000     		dr = 296.633760000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56172459-0.56177253) × cos(0.24012345) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971308623061324 × 6371000     		do = 296.662654967378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56172459-0.56177253) × cos(0.24007689) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971319695025792 × 6371000     		du = 296.666036630319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24012345)-sin(0.24007689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971308623061324-0.971319695025792)×R²
    abs(0.56177253-0.56172459)×1.10719644678126e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.10719644678126e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.10719644678126e-05×40589641000000     		ar = 88000.660368154m²