Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77252 / 59100
↖ ↑ ↗
← N 17.403063°
E 32.178955°		 ← 291.38 m → N 17.403063°
E 32.181701°		 →
↑
291.41 m
↓
↑
291.41 m
↓
N 17.400442°
E 32.178955°		 ← 291.39 m →
84 913 m²		 N 17.400442°
E 32.181701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589389801025391 y=0.450901031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589389801025391 × 217)
    floor (0.589389801025391 × 131072)
    floor (77252.5)     		tx = 77252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450901031494141 × 217)
    floor (0.450901031494141 × 131072)
    floor (59100.5)     		ty = 59100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77252 / 59100 ti = "17/77252/59100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77252/59100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77252 ÷ 217
    77252 ÷ 131072     		x = 0.589385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59100 ÷ 217
    59100 ÷ 131072     		y = 0.450897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589385986328125 × 2 - 1) × π
    0.17877197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56162872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450897216796875 × 2 - 1) × π
    0.09820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.308521885954681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56162872} λ = 0.56162872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308521885954681))-π/2
    2×atan(1.36141130500767)-π/2
    2×0.937268537976026-π/2
    1.87453707595205-1.57079632675     		φ = 0.30374075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56162872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.178955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30374075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.403063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77252 KachelY 59100 0.56162872 0.30374075 32.178955 17.403063
    Oben rechts KachelX + 1 77253 KachelY 59100 0.56167665 0.30374075 32.181701 17.403063
    Unten links KachelX 77252 KachelY + 1 59101 0.56162872 0.30369501 32.178955 17.400442
    Unten rechts KachelX + 1 77253 KachelY + 1 59101 0.56167665 0.30369501 32.181701 17.400442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30374075-0.30369501) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dl = 291.409540000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30374075-0.30369501) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dr = 291.409540000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56162872-0.56167665) × cos(0.30374075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954224340386178 × 6371000     		do = 291.383881655912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56162872-0.56167665) × cos(0.30369501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954238019847175 × 6371000     		du = 291.388058843892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30374075)-sin(0.30369501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954224340386178-0.954238019847175)×R²
    abs(0.56167665-0.56162872)×1.36794609971735e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36794609971735e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36794609971735e-05×40589641000000     		ar = 84912.6515677852m²