Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77250 / 57514
↖ ↑ ↗
← N 21.509296°
E 32.173462°		 ← 284.16 m → N 21.509296°
E 32.176209°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
N 21.506741°
E 32.173462°		 ← 284.16 m →
80 742 m²		 N 21.506741°
E 32.176209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589374542236328 y=0.438800811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589374542236328 × 217)
    floor (0.589374542236328 × 131072)
    floor (77250.5)     		tx = 77250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438800811767578 × 217)
    floor (0.438800811767578 × 131072)
    floor (57514.5)     		ty = 57514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77250 / 57514 ti = "17/77250/57514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77250/57514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77250 ÷ 217
    77250 ÷ 131072     		x = 0.589370727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57514 ÷ 217
    57514 ÷ 131072     		y = 0.438796997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589370727539062 × 2 - 1) × π
    0.178741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56153284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438796997070312 × 2 - 1) × π
    0.122406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.38454980875209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56153284} λ = 0.56153284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38454980875209))-π/2
    2×atan(1.46895286283844)-π/2
    2×0.973102182632689-π/2
    1.94620436526538-1.57079632675     		φ = 0.37540804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56153284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.173462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37540804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.509296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77250 KachelY 57514 0.56153284 0.37540804 32.173462 21.509296
    Oben rechts KachelX + 1 77251 KachelY 57514 0.56158078 0.37540804 32.176209 21.509296
    Unten links KachelX 77250 KachelY + 1 57515 0.56153284 0.37536344 32.173462 21.506741
    Unten rechts KachelX + 1 77251 KachelY + 1 57515 0.56158078 0.37536344 32.176209 21.506741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37540804-0.37536344) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37540804-0.37536344) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56153284-0.56158078) × cos(0.37540804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930358090610497 × 6371000     		do = 284.155308289512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56153284-0.56158078) × cos(0.37536344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930374442372534 × 6371000     		du = 284.160302538532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37540804)-sin(0.37536344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930358090610497-0.930374442372534)×R²
    abs(0.56158078-0.56153284)×1.63517620369591e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63517620369591e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63517620369591e-05×40589641000000     		ar = 80742.4742852149m²