Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7725 / 9523
↖ ↑ ↗
← S 28.052591°
W 10.261231°		 ← 2 156.23 m → S 28.052591°
W 10.239258°		 →
↑
2 156.01 m
↓
↑
2 156.01 m
↓
S 28.071980°
W 10.261231°		 ← 2 155.84 m →
4 648 441 m²		 S 28.071980°
W 10.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471527099609375 y=0.581268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471527099609375 × 214)
    floor (0.471527099609375 × 16384)
    floor (7725.5)     		tx = 7725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581268310546875 × 214)
    floor (0.581268310546875 × 16384)
    floor (9523.5)     		ty = 9523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7725 / 9523 ti = "14/7725/9523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7725/9523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7725 ÷ 214
    7725 ÷ 16384     		x = 0.47149658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9523 ÷ 214
    9523 ÷ 16384     		y = 0.58123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47149658203125 × 2 - 1) × π
    -0.0570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17909226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58123779296875 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.510432107154358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17909226} λ = -0.17909226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510432107154358))-π/2
    2×atan(0.600236156429671)-π/2
    2×0.540593126612872-π/2
    1.08118625322574-1.57079632675     		φ = -0.48961007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17909226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.261231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48961007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.052591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7725 KachelY 9523 -0.17909226 -0.48961007 -10.261231 -28.052591
    Oben rechts KachelX + 1 7726 KachelY 9523 -0.17870876 -0.48961007 -10.239258 -28.052591
    Unten links KachelX 7725 KachelY + 1 9524 -0.17909226 -0.48994848 -10.261231 -28.071980
    Unten rechts KachelX + 1 7726 KachelY + 1 9524 -0.17870876 -0.48994848 -10.239258 -28.071980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48961007--0.48994848) × R
    0.000338410000000011 × 6371000     		dl = 2156.01011000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48961007--0.48994848) × R
    0.000338410000000011 × 6371000     		dr = 2156.01011000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17909226--0.17870876) × cos(-0.48961007) × R
    0.000383500000000009 × 0.882516302680718 × 6371000     		do = 2156.23310823934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17909226--0.17870876) × cos(-0.48994848) × R
    0.000383500000000009 × 0.882357104084877 × 6371000     		du = 2155.84414173289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48961007)-sin(-0.48994848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882516302680718-0.882357104084877)×R²
    abs(-0.17870876--0.17909226)×0.00015919859584157×R²
    0.000383500000000009×0.00015919859584157×6371000²
    0.000383500000000009×0.00015919859584157×40589641000000     		ar = 4648441.11738282m²