Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77245 / 57520
↖ ↑ ↗
← N 21.493963°
E 32.159729°		 ← 284.13 m → N 21.493963°
E 32.162475°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
N 21.491408°
E 32.159729°		 ← 284.13 m →
80 734 m²		 N 21.491408°
E 32.162475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589336395263672 y=0.438846588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589336395263672 × 217)
    floor (0.589336395263672 × 131072)
    floor (77245.5)     		tx = 77245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438846588134766 × 217)
    floor (0.438846588134766 × 131072)
    floor (57520.5)     		ty = 57520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77245 / 57520 ti = "17/77245/57520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77245/57520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77245 ÷ 217
    77245 ÷ 131072     		x = 0.589332580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57520 ÷ 217
    57520 ÷ 131072     		y = 0.4388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589332580566406 × 2 - 1) × π
    0.178665161132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.56129316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    0.122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38426218735437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56129316} λ = 0.56129316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38426218735437))-π/2
    2×atan(1.46853042131737)-π/2
    2×0.972968380131922-π/2
    1.94593676026384-1.57079632675     		φ = 0.37514043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56129316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.159729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37514043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.493963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77245 KachelY 57520 0.56129316 0.37514043 32.159729 21.493963
    Oben rechts KachelX + 1 77246 KachelY 57520 0.56134109 0.37514043 32.162475 21.493963
    Unten links KachelX 77245 KachelY + 1 57521 0.56129316 0.37509583 32.159729 21.491408
    Unten rechts KachelX + 1 77246 KachelY + 1 57521 0.56134109 0.37509583 32.162475 21.491408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37514043-0.37509583) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37514043-0.37509583) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56129316-0.56134109) × cos(0.37514043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930456177086146 × 6371000     		do = 284.125987061239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56129316-0.56134109) × cos(0.37509583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930472517743299 × 6371000     		du = 284.130976877479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37514043)-sin(0.37509583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930456177086146-0.930472517743299)×R²
    abs(0.56134109-0.56129316)×1.63406571525027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63406571525027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63406571525027e-05×40589641000000     		ar = 80734.1421282056m²