Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77241 / 60504
↖ ↑ ↗
← N 13.688688°
E 32.148743°		 ← 296.75 m → N 13.688688°
E 32.151489°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
N 13.686019°
E 32.148743°		 ← 296.75 m →
88 046 m²		 N 13.686019°
E 32.151489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589305877685547 y=0.461612701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589305877685547 × 217)
    floor (0.589305877685547 × 131072)
    floor (77241.5)     		tx = 77241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461612701416016 × 217)
    floor (0.461612701416016 × 131072)
    floor (60504.5)     		ty = 60504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77241 / 60504 ti = "17/77241/60504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77241/60504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77241 ÷ 217
    77241 ÷ 131072     		x = 0.589302062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60504 ÷ 217
    60504 ÷ 131072     		y = 0.46160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589302062988281 × 2 - 1) × π
    0.178604125976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.56110141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    0.0767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.241218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56110141} λ = 0.56110141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241218478888123))-π/2
    2×atan(1.27279908466199)-π/2
    2×0.904854499324213-π/2
    1.80970899864843-1.57079632675     		φ = 0.23891267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56110141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.148743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23891267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.688688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77241 KachelY 60504 0.56110141 0.23891267 32.148743 13.688688
    Oben rechts KachelX + 1 77242 KachelY 60504 0.56114935 0.23891267 32.151489 13.688688
    Unten links KachelX 77241 KachelY + 1 60505 0.56110141 0.23886610 32.148743 13.686019
    Unten rechts KachelX + 1 77242 KachelY + 1 60505 0.56114935 0.23886610 32.151489 13.686019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23891267-0.23886610) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23891267-0.23886610) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56110141-0.56114935) × cos(0.23891267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971595861798049 × 6371000     		do = 296.750385070412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56110141-0.56114935) × cos(0.23886610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971606881363641 × 6371000     		du = 296.753750729388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23891267)-sin(0.23886610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971595861798049-0.971606881363641)×R²
    abs(0.56114935-0.56110141)×1.10195655926848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10195655926848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10195655926848e-05×40589641000000     		ar = 88045.5877790715m²