Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77240 / 60503
↖ ↑ ↗
← N 13.691357°
E 32.145996°		 ← 296.75 m → N 13.691357°
E 32.148743°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.688688°
E 32.145996°		 ← 296.75 m →
88 063 m²		 N 13.688688°
E 32.148743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589298248291016 y=0.461605072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589298248291016 × 217)
    floor (0.589298248291016 × 131072)
    floor (77240.5)     		tx = 77240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461605072021484 × 217)
    floor (0.461605072021484 × 131072)
    floor (60503.5)     		ty = 60503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77240 / 60503 ti = "17/77240/60503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77240/60503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77240 ÷ 217
    77240 ÷ 131072     		x = 0.58929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60503 ÷ 217
    60503 ÷ 131072     		y = 0.461601257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58929443359375 × 2 - 1) × π
    0.1785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56105347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461601257324219 × 2 - 1) × π
    0.0767974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.241266415787743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56105347} λ = 0.56105347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241266415787743))-π/2
    2×atan(1.27286010016638)-π/2
    2×0.904877786838755-π/2
    1.80975557367751-1.57079632675     		φ = 0.23895925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56105347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23895925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.691357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77240 KachelY 60503 0.56105347 0.23895925 32.145996 13.691357
    Oben rechts KachelX + 1 77241 KachelY 60503 0.56110141 0.23895925 32.148743 13.691357
    Unten links KachelX 77240 KachelY + 1 60504 0.56105347 0.23891267 32.145996 13.688688
    Unten rechts KachelX + 1 77241 KachelY + 1 60504 0.56110141 0.23891267 32.148743 13.688688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23895925-0.23891267) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23895925-0.23891267) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56105347-0.56110141) × cos(0.23895925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971584837758377 × 6371000     		do = 296.747018044938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56105347-0.56110141) × cos(0.23891267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971595861798049 × 6371000     		du = 296.750385070412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23895925)-sin(0.23891267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971584837758377-0.971595861798049)×R²
    abs(0.56110141-0.56105347)×1.10240396714589e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10240396714589e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10240396714589e-05×40589641000000     		ar = 88063.494853716m²