Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7724 / 9702
↖ ↑ ↗
← S 31.466154°
W 10.283203°		 ← 2 083.94 m → S 31.466154°
W 10.261231°		 →
↑
2 083.70 m
↓
↑
2 083.70 m
↓
S 31.484893°
W 10.283203°		 ← 2 083.52 m →
4 341 863 m²		 S 31.484893°
W 10.261231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471466064453125 y=0.592193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471466064453125 × 214)
    floor (0.471466064453125 × 16384)
    floor (7724.5)     		tx = 7724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592193603515625 × 214)
    floor (0.592193603515625 × 16384)
    floor (9702.5)     		ty = 9702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7724 / 9702 ti = "14/7724/9702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7724/9702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7724 ÷ 214
    7724 ÷ 16384     		x = 0.471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9702 ÷ 214
    9702 ÷ 16384     		y = 0.5921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.05712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17947575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17947575} λ = -0.17947575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579077747410278))-π/2
    2×atan(0.560414972467897)-π/2
    2×0.510804170771597-π/2
    1.02160834154319-1.57079632675     		φ = -0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17947575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7724 KachelY 9702 -0.17947575 -0.54918799 -10.283203 -31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 7725 KachelY 9702 -0.17909226 -0.54918799 -10.261231 -31.466154
    Unten links KachelX 7724 KachelY + 1 9703 -0.17947575 -0.54951505 -10.283203 -31.484893
    Unten rechts KachelX + 1 7725 KachelY + 1 9703 -0.17909226 -0.54951505 -10.261231 -31.484893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54918799--0.54951505) × R
    0.000327060000000046 × 6371000     		dl = 2083.69926000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54918799--0.54951505) × R
    0.000327060000000046 × 6371000     		dr = 2083.69926000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17947575--0.17909226) × cos(-0.54918799) × R
    0.000383489999999986 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 2083.93680127958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17947575--0.17909226) × cos(-0.54951505) × R
    0.000383489999999986 × 0.852777898974375 × 6371000     		du = 2083.51957535924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54918799)-sin(-0.54951505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.852777898974375)×R²
    abs(-0.17909226--0.17947575)×0.000170769234882018×R²
    0.000383489999999986×0.000170769234882018×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170769234882018×40589641000000     		ar = 4341862.92274574m²