Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7724 / 1581
↖ ↑ ↗
← N 73.465983°
E159.433594°		 ← 1 390.62 m → N 73.465983°
E159.477539°		 →
↑
1 391.11 m
↓
↑
1 391.11 m
↓
N 73.453473°
E159.433594°		 ← 1 391.64 m →
1 935 214 m²		 N 73.453473°
E159.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94293212890625 y=0.19305419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94293212890625 × 213)
    floor (0.94293212890625 × 8192)
    floor (7724.5)     		tx = 7724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19305419921875 × 213)
    floor (0.19305419921875 × 8192)
    floor (1581.5)     		ty = 1581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7724 / 1581 ti = "13/7724/1581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7724/1581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7724 ÷ 213
    7724 ÷ 8192     		x = 0.94287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1581 ÷ 213
    1581 ÷ 8192     		y = 0.1929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94287109375 × 2 - 1) × π
    0.8857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78264115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1929931640625 × 2 - 1) × π
    0.614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92898084071106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78264115} λ = 2.78264115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92898084071106))-π/2
    2×atan(6.88249231002485)-π/2
    2×1.42650981369931-π/2
    2.85301962739862-1.57079632675     		φ = 1.28222330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78264115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28222330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.465983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7724 KachelY 1581 2.78264115 1.28222330 159.433594 73.465983
    Oben rechts KachelX + 1 7725 KachelY 1581 2.78340814 1.28222330 159.477539 73.465983
    Unten links KachelX 7724 KachelY + 1 1582 2.78264115 1.28200495 159.433594 73.453473
    Unten rechts KachelX + 1 7725 KachelY + 1 1582 2.78340814 1.28200495 159.477539 73.453473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28222330-1.28200495) × R
    0.000218350000000145 × 6371000     		dl = 1391.10785000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28222330-1.28200495) × R
    0.000218350000000145 × 6371000     		dr = 1391.10785000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78264115-2.78340814) × cos(1.28222330) × R
    0.000766990000000245 × 0.284584546099161 × 6371000     		do = 1390.62047495169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78264115-2.78340814) × cos(1.28200495) × R
    0.000766990000000245 × 0.284793860747511 × 6371000     		du = 1391.64328957635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28222330)-sin(1.28200495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284584546099161-0.284793860747511)×R²
    abs(2.78340814-2.78264115)×0.000209314648350223×R²
    0.000766990000000245×0.000209314648350223×6371000²
    0.000766990000000245×0.000209314648350223×40589641000000     		ar = 1935214.48949258m²