Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77234 / 59350
↖ ↑ ↗
← N 16.746688°
E 32.129517°		 ← 292.47 m → N 16.746688°
E 32.132263°		 →
↑
292.43 m
↓
↑
292.43 m
↓
N 16.744058°
E 32.129517°		 ← 292.48 m →
85 528 m²		 N 16.744058°
E 32.132263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589252471923828 y=0.452808380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589252471923828 × 217)
    floor (0.589252471923828 × 131072)
    floor (77234.5)     		tx = 77234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452808380126953 × 217)
    floor (0.452808380126953 × 131072)
    floor (59350.5)     		ty = 59350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77234 / 59350 ti = "17/77234/59350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77234/59350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77234 ÷ 217
    77234 ÷ 131072     		x = 0.589248657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59350 ÷ 217
    59350 ÷ 131072     		y = 0.452804565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589248657226562 × 2 - 1) × π
    0.178497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56076585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452804565429688 × 2 - 1) × π
    0.094390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.296537661049667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56076585} λ = 0.56076585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296537661049667))-π/2
    2×atan(1.34519322043197)-π/2
    2×0.931540583917794-π/2
    1.86308116783559-1.57079632675     		φ = 0.29228484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56076585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.129517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29228484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.746688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77234 KachelY 59350 0.56076585 0.29228484 32.129517 16.746688
    Oben rechts KachelX + 1 77235 KachelY 59350 0.56081379 0.29228484 32.132263 16.746688
    Unten links KachelX 77234 KachelY + 1 59351 0.56076585 0.29223894 32.129517 16.744058
    Unten rechts KachelX + 1 77235 KachelY + 1 59351 0.56081379 0.29223894 32.132263 16.744058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29228484-0.29223894) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dl = 292.428899999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29228484-0.29223894) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dr = 292.428899999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56076585-0.56081379) × cos(0.29228484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957588019747132 × 6371000     		do = 292.47202954621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56076585-0.56081379) × cos(0.29223894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957601244406201 × 6371000     		du = 292.476068697493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29228484)-sin(0.29223894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957588019747132-0.957601244406201)×R²
    abs(0.56081379-0.56076585)×1.32246590698326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32246590698326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32246590698326e-05×40589641000000     		ar = 85527.8644782488m²