Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77233 / 57615
↖ ↑ ↗
← N 21.250982°
E 32.126770°		 ← 284.66 m → N 21.250982°
E 32.129517°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 21.248422°
E 32.126770°		 ← 284.66 m →
81 030 m²		 N 21.248422°
E 32.129517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589244842529297 y=0.439571380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589244842529297 × 217)
    floor (0.589244842529297 × 131072)
    floor (77233.5)     		tx = 77233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439571380615234 × 217)
    floor (0.439571380615234 × 131072)
    floor (57615.5)     		ty = 57615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77233 / 57615 ti = "17/77233/57615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77233/57615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77233 ÷ 217
    77233 ÷ 131072     		x = 0.589241027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57615 ÷ 217
    57615 ÷ 131072     		y = 0.439567565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589241027832031 × 2 - 1) × π
    0.178482055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.56071791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439567565917969 × 2 - 1) × π
    0.120864868164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.379708181890465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56071791} λ = 0.56071791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379708181890465))-π/2
    2×atan(1.46185793056615)-π/2
    2×0.970847966654218-π/2
    1.94169593330844-1.57079632675     		φ = 0.37089961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56071791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.126770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37089961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.250982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77233 KachelY 57615 0.56071791 0.37089961 32.126770 21.250982
    Oben rechts KachelX + 1 77234 KachelY 57615 0.56076585 0.37089961 32.129517 21.250982
    Unten links KachelX 77233 KachelY + 1 57616 0.56071791 0.37085493 32.126770 21.248422
    Unten rechts KachelX + 1 77234 KachelY + 1 57616 0.56076585 0.37085493 32.129517 21.248422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37089961-0.37085493) × R
    4.46799999999636e-05 × 6371000     		dl = 284.656279999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37089961-0.37085493) × R
    4.46799999999636e-05 × 6371000     		dr = 284.656279999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56071791-0.56076585) × cos(0.37089961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93200165552579 × 6371000     		do = 284.657295320003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56071791-0.56076585) × cos(0.37085493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932017849040965 × 6371000     		du = 284.662241236358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37089961)-sin(0.37085493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93200165552579-0.932017849040965)×R²
    abs(0.56076585-0.56071791)×1.61935151744563e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61935151744563e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61935151744563e-05×40589641000000     		ar = 81030.190717071m²