Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77232 / 57648
↖ ↑ ↗
← N 21.166484°
E 32.124024°		 ← 284.76 m → N 21.166484°
E 32.126770°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.163922°
E 32.124024°		 ← 284.77 m →
81 096 m²		 N 21.163922°
E 32.126770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589237213134766 y=0.439823150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589237213134766 × 217)
    floor (0.589237213134766 × 131072)
    floor (77232.5)     		tx = 77232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439823150634766 × 217)
    floor (0.439823150634766 × 131072)
    floor (57648.5)     		ty = 57648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77232 / 57648 ti = "17/77232/57648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77232/57648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77232 ÷ 217
    77232 ÷ 131072     		x = 0.5892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57648 ÷ 217
    57648 ÷ 131072     		y = 0.4398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5892333984375 × 2 - 1) × π
    0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4398193359375 × 2 - 1) × π
    0.120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378126264203003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56066998} λ = 0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378126264203003))-π/2
    2×atan(1.45954721980822)-π/2
    2×0.970110580590378-π/2
    1.94022116118076-1.57079632675     		φ = 0.36942483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36942483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.166484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77232 KachelY 57648 0.56066998 0.36942483 32.124024 21.166484
    Oben rechts KachelX + 1 77233 KachelY 57648 0.56071791 0.36942483 32.126770 21.166484
    Unten links KachelX 77232 KachelY + 1 57649 0.56066998 0.36938013 32.124024 21.163922
    Unten rechts KachelX + 1 77233 KachelY + 1 57649 0.56071791 0.36938013 32.126770 21.163922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36942483-0.36938013) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36942483-0.36938013) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56066998-0.56071791) × cos(0.36942483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932535181726061 × 6371000     		do = 284.760836138463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56066998-0.56071791) × cos(0.36938013) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932551321031319 × 6371000     		du = 284.76576446948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36942483)-sin(0.36938013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932535181726061-0.932551321031319)×R²
    abs(0.56071791-0.56066998)×1.61393052580117e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61393052580117e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61393052580117e-05×40589641000000     		ar = 81095.9462983219m²