Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77231 / 57453
↖ ↑ ↗
← N 21.665086°
E 32.121277°		 ← 283.85 m → N 21.665086°
E 32.124024°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.662533°
E 32.121277°		 ← 283.85 m →
80 565 m²		 N 21.662533°
E 32.124024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589229583740234 y=0.438335418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589229583740234 × 217)
    floor (0.589229583740234 × 131072)
    floor (77231.5)     		tx = 77231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438335418701172 × 217)
    floor (0.438335418701172 × 131072)
    floor (57453.5)     		ty = 57453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77231 / 57453 ti = "17/77231/57453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77231/57453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77231 ÷ 217
    77231 ÷ 131072     		x = 0.589225769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57453 ÷ 217
    57453 ÷ 131072     		y = 0.438331604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589225769042969 × 2 - 1) × π
    0.178451538085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.56062204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438331604003906 × 2 - 1) × π
    0.123336791992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.387473959628914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56062204} λ = 0.56062204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387473959628914))-π/2
    2×atan(1.4732545890233)-π/2
    2×0.974461705736098-π/2
    1.9489234114722-1.57079632675     		φ = 0.37812708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56062204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.121277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37812708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.665086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77231 KachelY 57453 0.56062204 0.37812708 32.121277 21.665086
    Oben rechts KachelX + 1 77232 KachelY 57453 0.56066998 0.37812708 32.124024 21.665086
    Unten links KachelX 77231 KachelY + 1 57454 0.56062204 0.37808253 32.121277 21.662533
    Unten rechts KachelX + 1 77232 KachelY + 1 57454 0.56066998 0.37808253 32.124024 21.662533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37812708-0.37808253) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dl = 283.828049999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37812708-0.37808253) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dr = 283.828049999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56062204-0.56066998) × cos(0.37812708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929357710737887 × 6371000     		do = 283.849766526639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56062204-0.56066998) × cos(0.37808253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929374156807143 × 6371000     		du = 283.854789579512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37812708)-sin(0.37808253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929357710737887-0.929374156807143)×R²
    abs(0.56066998-0.56062204)×1.64460692562152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64460692562152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64460692562152e-05×40589641000000     		ar = 80565.2385810705m²