Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77230 / 59052
↖ ↑ ↗
← N 17.528820°
E 32.118530°		 ← 291.24 m → N 17.528820°
E 32.121277°		 →
↑
291.22 m
↓
↑
291.22 m
↓
N 17.526201°
E 32.118530°		 ← 291.25 m →
84 816 m²		 N 17.526201°
E 32.121277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589221954345703 y=0.450534820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589221954345703 × 217)
    floor (0.589221954345703 × 131072)
    floor (77230.5)     		tx = 77230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450534820556641 × 217)
    floor (0.450534820556641 × 131072)
    floor (59052.5)     		ty = 59052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77230 / 59052 ti = "17/77230/59052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77230/59052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77230 ÷ 217
    77230 ÷ 131072     		x = 0.589218139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59052 ÷ 217
    59052 ÷ 131072     		y = 0.450531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589218139648438 × 2 - 1) × π
    0.178436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56057410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450531005859375 × 2 - 1) × π
    0.09893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310822857136444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56057410} λ = 0.56057410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310822857136444))-π/2
    2×atan(1.36454747992737)-π/2
    2×0.938365980774511-π/2
    1.87673196154902-1.57079632675     		φ = 0.30593563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56057410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.118530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30593563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.528820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77230 KachelY 59052 0.56057410 0.30593563 32.118530 17.528820
    Oben rechts KachelX + 1 77231 KachelY 59052 0.56062204 0.30593563 32.121277 17.528820
    Unten links KachelX 77230 KachelY + 1 59053 0.56057410 0.30588992 32.118530 17.526201
    Unten rechts KachelX + 1 77231 KachelY + 1 59053 0.56062204 0.30588992 32.121277 17.526201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30593563-0.30588992) × R
    4.57100000000321e-05 × 6371000     		dl = 291.218410000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30593563-0.30588992) × R
    4.57100000000321e-05 × 6371000     		dr = 291.218410000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56057410-0.56062204) × cos(0.30593563) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95356557180475 × 6371000     		do = 291.243470407473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56057410-0.56062204) × cos(0.30588992) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953579337997368 × 6371000     		du = 291.24767495704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30593563)-sin(0.30588992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95356557180475-0.953579337997368)×R²
    abs(0.56062204-0.56057410)×1.37661926180588e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.37661926180588e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.37661926180588e-05×40589641000000     		ar = 84816.0726109021m²