Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77230 / 57614
↖ ↑ ↗
← N 21.253542°
E 32.118530°		 ← 284.65 m → N 21.253542°
E 32.121277°		 →
↑
284.59 m
↓
↑
284.59 m
↓
N 21.250982°
E 32.118530°		 ← 284.66 m →
81 011 m²		 N 21.250982°
E 32.121277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589221954345703 y=0.439563751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589221954345703 × 217)
    floor (0.589221954345703 × 131072)
    floor (77230.5)     		tx = 77230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439563751220703 × 217)
    floor (0.439563751220703 × 131072)
    floor (57614.5)     		ty = 57614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77230 / 57614 ti = "17/77230/57614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77230/57614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77230 ÷ 217
    77230 ÷ 131072     		x = 0.589218139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57614 ÷ 217
    57614 ÷ 131072     		y = 0.439559936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589218139648438 × 2 - 1) × π
    0.178436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56057410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439559936523438 × 2 - 1) × π
    0.120880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.379756118790085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56057410} λ = 0.56057410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379756118790085))-π/2
    2×atan(1.46192800918269)-π/2
    2×0.970870305095079-π/2
    1.94174061019016-1.57079632675     		φ = 0.37094428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56057410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.118530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37094428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.253542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77230 KachelY 57614 0.56057410 0.37094428 32.118530 21.253542
    Oben rechts KachelX + 1 77231 KachelY 57614 0.56062204 0.37094428 32.121277 21.253542
    Unten links KachelX 77230 KachelY + 1 57615 0.56057410 0.37089961 32.118530 21.250982
    Unten rechts KachelX + 1 77231 KachelY + 1 57615 0.56062204 0.37089961 32.121277 21.250982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37094428-0.37089961) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dl = 284.592570000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37094428-0.37089961) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dr = 284.592570000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56057410-0.56062204) × cos(0.37094428) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931985463775015 × 6371000     		do = 284.6523499432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56057410-0.56062204) × cos(0.37089961) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93200165552579 × 6371000     		du = 284.657295320662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37094428)-sin(0.37089961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931985463775015-0.93200165552579)×R²
    abs(0.56062204-0.56057410)×1.6191750775163e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.6191750775163e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.6191750775163e-05×40589641000000     		ar = 81010.6475492945m²