Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7723 / 9628
↖ ↑ ↗
← S 30.069094°
W 10.305176°		 ← 2 114.47 m → S 30.069094°
W 10.283203°		 →
↑
2 114.28 m
↓
↑
2 114.28 m
↓
S 30.088108°
W 10.305176°		 ← 2 114.06 m →
4 470 145 m²		 S 30.088108°
W 10.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471405029296875 y=0.587677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471405029296875 × 214)
    floor (0.471405029296875 × 16384)
    floor (7723.5)     		tx = 7723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587677001953125 × 214)
    floor (0.587677001953125 × 16384)
    floor (9628.5)     		ty = 9628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7723 / 9628 ti = "14/7723/9628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7723/9628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7723 ÷ 214
    7723 ÷ 16384     		x = 0.47137451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9628 ÷ 214
    9628 ÷ 16384     		y = 0.587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.0572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17985925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.550699102835205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17985925} λ = -0.17985925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550699102835205))-π/2
    2×atan(0.576546604090031)-π/2
    2×0.522995817018753-π/2
    1.04599163403751-1.57079632675     		φ = -0.52480469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17985925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52480469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.069094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7723 KachelY 9628 -0.17985925 -0.52480469 -10.305176 -30.069094
    Oben rechts KachelX + 1 7724 KachelY 9628 -0.17947575 -0.52480469 -10.283203 -30.069094
    Unten links KachelX 7723 KachelY + 1 9629 -0.17985925 -0.52513655 -10.305176 -30.088108
    Unten rechts KachelX + 1 7724 KachelY + 1 9629 -0.17947575 -0.52513655 -10.283203 -30.088108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52480469--0.52513655) × R
    0.000331860000000073 × 6371000     		dl = 2114.28006000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52480469--0.52513655) × R
    0.000331860000000073 × 6371000     		dr = 2114.28006000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17985925--0.17947575) × cos(-0.52480469) × R
    0.000383500000000009 × 0.86542181702994 × 6371000     		do = 2114.46651898023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17985925--0.17947575) × cos(-0.52513655) × R
    0.000383500000000009 × 0.865255492919993 × 6371000     		du = 2114.06014285837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52480469)-sin(-0.52513655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86542181702994-0.865255492919993)×R²
    abs(-0.17947575--0.17985925)×0.000166324109947213×R²
    0.000383500000000009×0.000166324109947213×6371000²
    0.000383500000000009×0.000166324109947213×40589641000000     		ar = 4470144.84317828m²