Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7723 / 1579
↖ ↑ ↗
← N 73.490978°
E159.389649°		 ← 1 388.58 m → N 73.490978°
E159.433594°		 →
↑
1 389.13 m
↓
↑
1 389.13 m
↓
N 73.478485°
E159.389649°		 ← 1 389.60 m →
1 929 627 m²		 N 73.478485°
E159.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94281005859375 y=0.19281005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94281005859375 × 213)
    floor (0.94281005859375 × 8192)
    floor (7723.5)     		tx = 7723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19281005859375 × 213)
    floor (0.19281005859375 × 8192)
    floor (1579.5)     		ty = 1579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7723 / 1579 ti = "13/7723/1579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7723/1579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7723 ÷ 213
    7723 ÷ 8192     		x = 0.9427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1579 ÷ 213
    1579 ÷ 8192     		y = 0.1927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9427490234375 × 2 - 1) × π
    0.885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78187416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1927490234375 × 2 - 1) × π
    0.614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9305148214989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78187416} λ = 2.78187416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9305148214989))-π/2
    2×atan(6.89305802272921)-π/2
    2×1.42672792689234-π/2
    2.85345585378468-1.57079632675     		φ = 1.28265953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78187416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28265953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.490978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7723 KachelY 1579 2.78187416 1.28265953 159.389649 73.490978
    Oben rechts KachelX + 1 7724 KachelY 1579 2.78264115 1.28265953 159.433594 73.490978
    Unten links KachelX 7723 KachelY + 1 1580 2.78187416 1.28244149 159.389649 73.478485
    Unten rechts KachelX + 1 7724 KachelY + 1 1580 2.78264115 1.28244149 159.433594 73.478485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28265953-1.28244149) × R
    0.00021804000000003 × 6371000     		dl = 1389.13284000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28265953-1.28244149) × R
    0.00021804000000003 × 6371000     		dr = 1389.13284000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78187416-2.78264115) × cos(1.28265953) × R
    0.000766989999999801 × 0.284166326732547 × 6371000     		do = 1388.57684882218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78187416-2.78264115) × cos(1.28244149) × R
    0.000766989999999801 × 0.284375371276839 × 6371000     		du = 1389.59834358517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28265953)-sin(1.28244149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284166326732547-0.284375371276839)×R²
    abs(2.78264115-2.78187416)×0.000209044544292158×R²
    0.000766989999999801×0.000209044544292158×6371000²
    0.000766989999999801×0.000209044544292158×40589641000000     		ar = 1929627.20516686m²