Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77229 / 58977
↖ ↑ ↗
← N 17.725143°
E 32.115784°		 ← 290.87 m → N 17.725143°
E 32.118530°		 →
↑
290.96 m
↓
↑
290.96 m
↓
N 17.722526°
E 32.115784°		 ← 290.87 m →
84 632 m²		 N 17.722526°
E 32.118530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589214324951172 y=0.449962615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589214324951172 × 217)
    floor (0.589214324951172 × 131072)
    floor (77229.5)     		tx = 77229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449962615966797 × 217)
    floor (0.449962615966797 × 131072)
    floor (58977.5)     		ty = 58977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77229 / 58977 ti = "17/77229/58977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77229/58977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77229 ÷ 217
    77229 ÷ 131072     		x = 0.589210510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58977 ÷ 217
    58977 ÷ 131072     		y = 0.449958801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589210510253906 × 2 - 1) × π
    0.178421020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.56052617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449958801269531 × 2 - 1) × π
    0.100082397460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.314418124607948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56052617} λ = 0.56052617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314418124607948))-π/2
    2×atan(1.36946222270873)-π/2
    2×0.940079211311178-π/2
    1.88015842262236-1.57079632675     		φ = 0.30936210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56052617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.115784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30936210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.725143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77229 KachelY 58977 0.56052617 0.30936210 32.115784 17.725143
    Oben rechts KachelX + 1 77230 KachelY 58977 0.56057410 0.30936210 32.118530 17.725143
    Unten links KachelX 77229 KachelY + 1 58978 0.56052617 0.30931643 32.115784 17.722526
    Unten rechts KachelX + 1 77230 KachelY + 1 58978 0.56057410 0.30931643 32.118530 17.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30936210-0.30931643) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dl = 290.963569999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30936210-0.30931643) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dr = 290.963569999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56052617-0.56057410) × cos(0.30936210) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.952527973016631 × 6371000     		do = 290.865875471648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56052617-0.56057410) × cos(0.30931643) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.952541876304121 × 6371000     		du = 290.87012100774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30936210)-sin(0.30931643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952527973016631-0.952541876304121)×R²
    abs(0.56057410-0.56052617)×1.3903287489736e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.3903287489736e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.3903287489736e-05×40589641000000     		ar = 84631.9911813137m²