Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77220 / 59002
↖ ↑ ↗
← N 17.659726°
E 32.091065°		 ← 290.97 m → N 17.659726°
E 32.093811°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 17.657109°
E 32.091065°		 ← 290.98 m →
84 681 m²		 N 17.657109°
E 32.093811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589145660400391 y=0.450153350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589145660400391 × 217)
    floor (0.589145660400391 × 131072)
    floor (77220.5)     		tx = 77220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450153350830078 × 217)
    floor (0.450153350830078 × 131072)
    floor (59002.5)     		ty = 59002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77220 / 59002 ti = "17/77220/59002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77220/59002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77220 ÷ 217
    77220 ÷ 131072     		x = 0.589141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59002 ÷ 217
    59002 ÷ 131072     		y = 0.450149536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589141845703125 × 2 - 1) × π
    0.17828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56009474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450149536132812 × 2 - 1) × π
    0.099700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.313219702117447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56009474} λ = 0.56009474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313219702117447))-π/2
    2×atan(1.36782201141051)-π/2
    2×0.939508341823885-π/2
    1.87901668364777-1.57079632675     		φ = 0.30822036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56009474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.091065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30822036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.659726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77220 KachelY 59002 0.56009474 0.30822036 32.091065 17.659726
    Oben rechts KachelX + 1 77221 KachelY 59002 0.56014267 0.30822036 32.093811 17.659726
    Unten links KachelX 77220 KachelY + 1 59003 0.56009474 0.30817468 32.091065 17.657109
    Unten rechts KachelX + 1 77221 KachelY + 1 59003 0.56014267 0.30817468 32.093811 17.657109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30822036-0.30817468) × R
    4.56800000000479e-05 × 6371000     		dl = 291.027280000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30822036-0.30817468) × R
    4.56800000000479e-05 × 6371000     		dr = 291.027280000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56009474-0.56014267) × cos(0.30822036) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.952874956074655 × 6371000     		do = 290.971830922622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56009474-0.56014267) × cos(0.30817468) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.95288881271801 × 6371000     		du = 290.976062215366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30822036)-sin(0.30817468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952874956074655-0.95288881271801)×R²
    abs(0.56014267-0.56009474)×1.38566433550702e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.38566433550702e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.38566433550702e-05×40589641000000     		ar = 84681.3562355481m²