Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7722 / 3180
↖ ↑ ↗
← N 73.353055°
W 10.327148°		 ← 699.92 m → N 73.353055°
W 10.305176°		 →
↑
700.11 m
↓
↑
700.11 m
↓
N 73.346759°
W 10.327148°		 ← 700.17 m →
490 108 m²		 N 73.346759°
W 10.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471343994140625 y=0.194122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471343994140625 × 214)
    floor (0.471343994140625 × 16384)
    floor (7722.5)     		tx = 7722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194122314453125 × 214)
    floor (0.194122314453125 × 16384)
    floor (3180.5)     		ty = 3180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7722 / 3180 ti = "14/7722/3180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7722/3180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7722 ÷ 214
    7722 ÷ 16384     		x = 0.4713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3180 ÷ 214
    3180 ÷ 16384     		y = 0.194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18024274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194091796875 × 2 - 1) × π
    0.61181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92207792716577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18024274} λ = -0.18024274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92207792716577))-π/2
    2×atan(6.83514666009912)-π/2
    2×1.42552432594847-π/2
    2.85104865189695-1.57079632675     		φ = 1.28025233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18024274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28025233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.353055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7722 KachelY 3180 -0.18024274 1.28025233 -10.327148 73.353055
    Oben rechts KachelX + 1 7723 KachelY 3180 -0.17985925 1.28025233 -10.305176 73.353055
    Unten links KachelX 7722 KachelY + 1 3181 -0.18024274 1.28014244 -10.327148 73.346759
    Unten rechts KachelX + 1 7723 KachelY + 1 3181 -0.17985925 1.28014244 -10.305176 73.346759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28025233-1.28014244) × R
    0.000109889999999835 × 6371000     		dl = 700.109189998948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28025233-1.28014244) × R
    0.000109889999999835 × 6371000     		dr = 700.109189998948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18024274--0.17985925) × cos(1.28025233) × R
    0.000383490000000014 × 0.286473464364854 × 6371000     		do = 699.916205078775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18024274--0.17985925) × cos(1.28014244) × R
    0.000383490000000014 × 0.286578746944673 × 6371000     		du = 700.173433034918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28025233)-sin(1.28014244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286473464364854-0.286578746944673)×R²
    abs(-0.17985925--0.18024274)×0.000105282579818899×R²
    0.000383490000000014×0.000105282579818899×6371000²
    0.000383490000000014×0.000105282579818899×40589641000000     		ar = 490107.811725878m²