Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77211 / 59026
↖ ↑ ↗
← N 17.596903°
E 32.066345°		 ← 291.13 m → N 17.596903°
E 32.069092°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.594285°
E 32.066345°		 ← 291.14 m →
84 766 m²		 N 17.594285°
E 32.069092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589076995849609 y=0.450336456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589076995849609 × 217)
    floor (0.589076995849609 × 131072)
    floor (77211.5)     		tx = 77211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450336456298828 × 217)
    floor (0.450336456298828 × 131072)
    floor (59026.5)     		ty = 59026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77211 / 59026 ti = "17/77211/59026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77211/59026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77211 ÷ 217
    77211 ÷ 131072     		x = 0.589073181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59026 ÷ 217
    59026 ÷ 131072     		y = 0.450332641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589073181152344 × 2 - 1) × π
    0.178146362304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.55966330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450332641601562 × 2 - 1) × π
    0.099334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.312069216526566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55966330} λ = 0.55966330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312069216526566))-π/2
    2×atan(1.36624925678473)-π/2
    2×0.938960111814994-π/2
    1.87792022362999-1.57079632675     		φ = 0.30712390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55966330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.066345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30712390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.596903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77211 KachelY 59026 0.55966330 0.30712390 32.066345 17.596903
    Oben rechts KachelX + 1 77212 KachelY 59026 0.55971124 0.30712390 32.069092 17.596903
    Unten links KachelX 77211 KachelY + 1 59027 0.55966330 0.30707820 32.066345 17.594285
    Unten rechts KachelX + 1 77212 KachelY + 1 59027 0.55971124 0.30707820 32.069092 17.594285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30712390-0.30707820) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dl = 291.154699999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30712390-0.30707820) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dr = 291.154699999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55966330-0.55971124) × cos(0.30712390) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953207008994685 × 6371000     		do = 291.133956095872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55966330-0.55971124) × cos(0.30707820) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953220823948895 × 6371000     		du = 291.138175538484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30712390)-sin(0.30707820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953207008994685-0.953220823948895)×R²
    abs(0.55971124-0.55966330)×1.38149542104893e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.38149542104893e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.38149542104893e-05×40589641000000     		ar = 84765.6339168619m²