Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77204 / 58964
↖ ↑ ↗
← N 17.759150°
E 32.047119°		 ← 290.87 m → N 17.759150°
E 32.049866°		 →
↑
290.90 m
↓
↑
290.90 m
↓
N 17.756534°
E 32.047119°		 ← 290.88 m →
84 615 m²		 N 17.756534°
E 32.049866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589023590087891 y=0.449863433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589023590087891 × 217)
    floor (0.589023590087891 × 131072)
    floor (77204.5)     		tx = 77204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449863433837891 × 217)
    floor (0.449863433837891 × 131072)
    floor (58964.5)     		ty = 58964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77204 / 58964 ti = "17/77204/58964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77204/58964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77204 ÷ 217
    77204 ÷ 131072     		x = 0.589019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58964 ÷ 217
    58964 ÷ 131072     		y = 0.449859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589019775390625 × 2 - 1) × π
    0.17803955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55932774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449859619140625 × 2 - 1) × π
    0.10028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.315041304303009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55932774} λ = 0.55932774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315041304303009))-π/2
    2×atan(1.37031590973166)-π/2
    2×0.9403759811864-π/2
    1.8807519623728-1.57079632675     		φ = 0.30995564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55932774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.047119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30995564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.759150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77204 KachelY 58964 0.55932774 0.30995564 32.047119 17.759150
    Oben rechts KachelX + 1 77205 KachelY 58964 0.55937568 0.30995564 32.049866 17.759150
    Unten links KachelX 77204 KachelY + 1 58965 0.55932774 0.30990998 32.047119 17.756534
    Unten rechts KachelX + 1 77205 KachelY + 1 58965 0.55937568 0.30990998 32.049866 17.756534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30995564-0.30990998) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dl = 290.899860000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30995564-0.30990998) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dr = 290.899860000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55932774-0.55937568) × cos(0.30995564) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952347101349816 × 6371000     		do = 290.871318167105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55932774-0.55937568) × cos(0.30990998) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952361027405464 × 6371000     		du = 290.875571542957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30995564)-sin(0.30990998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952347101349816-0.952361027405464)×R²
    abs(0.55937568-0.55932774)×1.39260556475396e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39260556475396e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39260556475396e-05×40589641000000     		ar = 84615.0444007336m²