Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77202 / 58996
↖ ↑ ↗
← N 17.675428°
E 32.041626°		 ← 291.01 m → N 17.675428°
E 32.044373°		 →
↑
290.96 m
↓
↑
290.96 m
↓
N 17.672811°
E 32.041626°		 ← 291.01 m →
84 673 m²		 N 17.672811°
E 32.044373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589008331298828 y=0.450107574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589008331298828 × 217)
    floor (0.589008331298828 × 131072)
    floor (77202.5)     		tx = 77202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450107574462891 × 217)
    floor (0.450107574462891 × 131072)
    floor (58996.5)     		ty = 58996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77202 / 58996 ti = "17/77202/58996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77202/58996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77202 ÷ 217
    77202 ÷ 131072     		x = 0.589004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58996 ÷ 217
    58996 ÷ 131072     		y = 0.450103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589004516601562 × 2 - 1) × π
    0.178009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55923187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450103759765625 × 2 - 1) × π
    0.09979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.313507323515167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55923187} λ = 0.55923187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313507323515167))-π/2
    2×atan(1.36821548287195)-π/2
    2×0.93964536945749-π/2
    1.87929073891498-1.57079632675     		φ = 0.30849441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55923187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.041626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30849441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.675428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77202 KachelY 58996 0.55923187 0.30849441 32.041626 17.675428
    Oben rechts KachelX + 1 77203 KachelY 58996 0.55927981 0.30849441 32.044373 17.675428
    Unten links KachelX 77202 KachelY + 1 58997 0.55923187 0.30844874 32.041626 17.672811
    Unten rechts KachelX + 1 77203 KachelY + 1 58997 0.55927981 0.30844874 32.044373 17.672811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30849441-0.30844874) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dl = 290.963569999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30849441-0.30844874) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dr = 290.963569999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55923187-0.55927981) × cos(0.30849441) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952791783569377 × 6371000     		do = 291.00713556308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55923187-0.55927981) × cos(0.30844874) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952805649105153 × 6371000     		du = 291.011370454605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30849441)-sin(0.30844874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952791783569377-0.952805649105153)×R²
    abs(0.55927981-0.55923187)×1.3865535776092e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.3865535776092e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.3865535776092e-05×40589641000000     		ar = 84673.0911731181m²