Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77200 / 59311
↖ ↑ ↗
← N 16.849234°
E 32.036133°		 ← 292.25 m → N 16.849234°
E 32.038879°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.846605°
E 32.036133°		 ← 292.26 m →
85 427 m²		 N 16.846605°
E 32.038879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588993072509766 y=0.452510833740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588993072509766 × 217)
    floor (0.588993072509766 × 131072)
    floor (77200.5)     		tx = 77200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452510833740234 × 217)
    floor (0.452510833740234 × 131072)
    floor (59311.5)     		ty = 59311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77200 / 59311 ti = "17/77200/59311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77200/59311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77200 ÷ 217
    77200 ÷ 131072     		x = 0.5889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59311 ÷ 217
    59311 ÷ 131072     		y = 0.452507019042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452507019042969 × 2 - 1) × π
    0.0949859619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.29840720013485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55913600} λ = 0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29840720013485))-π/2
    2×atan(1.34771046404417)-π/2
    2×0.932435466500672-π/2
    1.86487093300134-1.57079632675     		φ = 0.29407461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29407461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.849234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77200 KachelY 59311 0.55913600 0.29407461 32.036133 16.849234
    Oben rechts KachelX + 1 77201 KachelY 59311 0.55918393 0.29407461 32.038879 16.849234
    Unten links KachelX 77200 KachelY + 1 59312 0.55913600 0.29402873 32.036133 16.846605
    Unten rechts KachelX + 1 77201 KachelY + 1 59312 0.55918393 0.29402873 32.038879 16.846605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29407461-0.29402873) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29407461-0.29402873) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55913600-0.55918393) × cos(0.29407461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957070780355394 × 6371000     		do = 292.253076343186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55913600-0.55918393) × cos(0.29402873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957084077863856 × 6371000     		du = 292.257136897364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29407461)-sin(0.29402873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957070780355394-0.957084077863856)×R²
    abs(0.55918393-0.55913600)×1.329750846224e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.329750846224e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.329750846224e-05×40589641000000     		ar = 85426.6002176291m²