Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7720 / 5089
↖ ↑ ↗
← N 56.157788°
W 10.371094°		 ← 1 360.65 m → N 56.157788°
W 10.349121°		 →
↑
1 360.85 m
↓
↑
1 360.85 m
↓
N 56.145550°
W 10.371094°		 ← 1 361.08 m →
1 851 923 m²		 N 56.145550°
W 10.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471221923828125 y=0.310638427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471221923828125 × 214)
    floor (0.471221923828125 × 16384)
    floor (7720.5)     		tx = 7720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310638427734375 × 214)
    floor (0.310638427734375 × 16384)
    floor (5089.5)     		ty = 5089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7720 / 5089 ti = "14/7720/5089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7720/5089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7720 ÷ 214
    7720 ÷ 16384     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5089 ÷ 214
    5089 ÷ 16384     		y = 0.31060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31060791015625 × 2 - 1) × π
    0.3787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18998559616827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18998559616827))-π/2
    2×atan(3.28703386115952)-π/2
    2×1.27546731567008-π/2
    2.55093463134016-1.57079632675     		φ = 0.98013830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98013830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.157788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7720 KachelY 5089 -0.18100973 0.98013830 -10.371094 56.157788
    Oben rechts KachelX + 1 7721 KachelY 5089 -0.18062624 0.98013830 -10.349121 56.157788
    Unten links KachelX 7720 KachelY + 1 5090 -0.18100973 0.97992470 -10.371094 56.145550
    Unten rechts KachelX + 1 7721 KachelY + 1 5090 -0.18062624 0.97992470 -10.349121 56.145550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98013830-0.97992470) × R
    0.000213600000000036 × 6371000     		dl = 1360.84560000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98013830-0.97992470) × R
    0.000213600000000036 × 6371000     		dr = 1360.84560000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18062624) × cos(0.98013830) × R
    0.000383490000000014 × 0.55690768365319 × 6371000     		do = 1360.64508936616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18062624) × cos(0.97992470) × R
    0.000383490000000014 × 0.557085081638972 × 6371000     		du = 1361.07851074874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98013830)-sin(0.97992470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55690768365319-0.557085081638972)×R²
    abs(-0.18062624--0.18100973)×0.000177397985782424×R²
    0.000383490000000014×0.000177397985782424×6371000²
    0.000383490000000014×0.000177397985782424×40589641000000     		ar = 1851922.79985869m²