Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 772 / 2307
↖ ↑ ↗
← N 61.543642°
W146.074219°		 ← 2 328.36 m → N 61.543642°
W146.030273°		 →
↑
2 329.17 m
↓
↑
2 329.17 m
↓
N 61.522695°
W146.074219°		 ← 2 329.93 m →
5 424 988 m²		 N 61.522695°
W146.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.09429931640625 y=0.28167724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.09429931640625 × 213)
    floor (0.09429931640625 × 8192)
    floor (772.5)     		tx = 772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28167724609375 × 213)
    floor (0.28167724609375 × 8192)
    floor (2307.5)     		ty = 2307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 772 / 2307 ti = "13/772/2307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/772/2307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 772 ÷ 213
    772 ÷ 8192     		x = 0.09423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2307 ÷ 213
    2307 ÷ 8192     		y = 0.2816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    -0.8115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.54947607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2816162109375 × 2 - 1) × π
    0.436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37214581472449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.54947607} λ = -2.54947607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37214581472449))-π/2
    2×atan(3.94380429562495)-π/2
    2×1.32246775209575-π/2
    2.6449355041915-1.57079632675     		φ = 1.07413918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.54947607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -146.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07413918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.543642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 772 KachelY 2307 -2.54947607 1.07413918 -146.074219 61.543642
    Oben rechts KachelX + 1 773 KachelY 2307 -2.54870908 1.07413918 -146.030273 61.543642
    Unten links KachelX 772 KachelY + 1 2308 -2.54947607 1.07377359 -146.074219 61.522695
    Unten rechts KachelX + 1 773 KachelY + 1 2308 -2.54870908 1.07377359 -146.030273 61.522695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07413918-1.07377359) × R
    0.000365589999999916 × 6371000     		dl = 2329.17388999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07413918-1.07377359) × R
    0.000365589999999916 × 6371000     		dr = 2329.17388999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.54947607--2.54870908) × cos(1.07413918) × R
    0.000766989999999801 × 0.476489235680154 × 6371000     		do = 2328.3614529077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.54947607--2.54870908) × cos(1.07377359) × R
    0.000766989999999801 × 0.476810623357779 × 6371000     		du = 2329.9319116379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07413918)-sin(1.07377359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476489235680154-0.476810623357779)×R²
    abs(-2.54870908--2.54947607)×0.000321387677624074×R²
    0.000766989999999801×0.000321387677624074×6371000²
    0.000766989999999801×0.000321387677624074×40589641000000     		ar = 5424987.69875158m²