Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77197 / 59065
↖ ↑ ↗
← N 17.494770°
E 32.027893°		 ← 291.24 m → N 17.494770°
E 32.030639°		 →
↑
291.28 m
↓
↑
291.28 m
↓
N 17.492151°
E 32.027893°		 ← 291.24 m →
84 833 m²		 N 17.492151°
E 32.030639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588970184326172 y=0.450634002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588970184326172 × 217)
    floor (0.588970184326172 × 131072)
    floor (77197.5)     		tx = 77197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450634002685547 × 217)
    floor (0.450634002685547 × 131072)
    floor (59065.5)     		ty = 59065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77197 / 59065 ti = "17/77197/59065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77197/59065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77197 ÷ 217
    77197 ÷ 131072     		x = 0.588966369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59065 ÷ 217
    59065 ÷ 131072     		y = 0.450630187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588966369628906 × 2 - 1) × π
    0.177932739257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.55899219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450630187988281 × 2 - 1) × π
    0.0987396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.310199677441383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55899219} λ = 0.55899219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310199677441383))-π/2
    2×atan(1.36369738655291)-π/2
    2×0.938068831555823-π/2
    1.87613766311165-1.57079632675     		φ = 0.30534134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55899219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.027893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30534134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.494770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77197 KachelY 59065 0.55899219 0.30534134 32.027893 17.494770
    Oben rechts KachelX + 1 77198 KachelY 59065 0.55904012 0.30534134 32.030639 17.494770
    Unten links KachelX 77197 KachelY + 1 59066 0.55899219 0.30529562 32.027893 17.492151
    Unten rechts KachelX + 1 77198 KachelY + 1 59066 0.55904012 0.30529562 32.030639 17.492151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30534134-0.30529562) × R
    4.57200000000269e-05 × 6371000     		dl = 291.282120000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30534134-0.30529562) × R
    4.57200000000269e-05 × 6371000     		dr = 291.282120000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55899219-0.55904012) × cos(0.30534134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953744394929509 × 6371000     		do = 291.237324536975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55899219-0.55904012) × cos(0.30529562) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953758138221658 × 6371000     		du = 291.241521216564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30534134)-sin(0.30529562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953744394929509-0.953758138221658)×R²
    abs(0.55904012-0.55899219)×1.3743292148316e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3743292148316e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3743292148316e-05×40589641000000     		ar = 84832.8365380123m²