Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77197 / 58970
↖ ↑ ↗
← N 17.743455°
E 32.027893°		 ← 290.84 m → N 17.743455°
E 32.030639°		 →
↑
290.90 m
↓
↑
290.90 m
↓
N 17.740839°
E 32.027893°		 ← 290.84 m →
84 605 m²		 N 17.740839°
E 32.030639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588970184326172 y=0.449909210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588970184326172 × 217)
    floor (0.588970184326172 × 131072)
    floor (77197.5)     		tx = 77197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449909210205078 × 217)
    floor (0.449909210205078 × 131072)
    floor (58970.5)     		ty = 58970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77197 / 58970 ti = "17/77197/58970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77197/58970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77197 ÷ 217
    77197 ÷ 131072     		x = 0.588966369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58970 ÷ 217
    58970 ÷ 131072     		y = 0.449905395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588966369628906 × 2 - 1) × π
    0.177932739257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.55899219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449905395507812 × 2 - 1) × π
    0.100189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.314753682905289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55899219} λ = 0.55899219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314753682905289))-π/2
    2×atan(1.36992183422937)-π/2
    2×0.940239017477943-π/2
    1.88047803495589-1.57079632675     		φ = 0.30968171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55899219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.027893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30968171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.743455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77197 KachelY 58970 0.55899219 0.30968171 32.027893 17.743455
    Oben rechts KachelX + 1 77198 KachelY 58970 0.55904012 0.30968171 32.030639 17.743455
    Unten links KachelX 77197 KachelY + 1 58971 0.55899219 0.30963605 32.027893 17.740839
    Unten rechts KachelX + 1 77198 KachelY + 1 58971 0.55904012 0.30963605 32.030639 17.740839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30968171-0.30963605) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dl = 290.899860000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30968171-0.30963605) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dr = 290.899860000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55899219-0.55904012) × cos(0.30968171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.952430618757714 × 6371000     		do = 290.83614717819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55899219-0.55904012) × cos(0.30963605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.952444532901134 × 6371000     		du = 290.84039602927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30968171)-sin(0.30963605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952430618757714-0.952444532901134)×R²
    abs(0.55904012-0.55899219)×1.39141434197798e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39141434197798e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39141434197798e-05×40589641000000     		ar = 84604.8125069136m²