Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77176 / 58932
↖ ↑ ↗
← N 17.842833°
E 31.970215°		 ← 290.73 m → N 17.842833°
E 31.972962°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.840218°
E 31.970215°		 ← 290.74 m →
84 538 m²		 N 17.840218°
E 31.972962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588809967041016 y=0.449619293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588809967041016 × 217)
    floor (0.588809967041016 × 131072)
    floor (77176.5)     		tx = 77176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449619293212891 × 217)
    floor (0.449619293212891 × 131072)
    floor (58932.5)     		ty = 58932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77176 / 58932 ti = "17/77176/58932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77176/58932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77176 ÷ 217
    77176 ÷ 131072     		x = 0.58880615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58932 ÷ 217
    58932 ÷ 131072     		y = 0.449615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58880615234375 × 2 - 1) × π
    0.1776123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.55798551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449615478515625 × 2 - 1) × π
    0.10076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.316575285090851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55798551} λ = 0.55798551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316575285090851))-π/2
    2×atan(1.37241956107833)-π/2
    2×0.941106251150059-π/2
    1.88221250230012-1.57079632675     		φ = 0.31141618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55798551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.970215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31141618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.842833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77176 KachelY 58932 0.55798551 0.31141618 31.970215 17.842833
    Oben rechts KachelX + 1 77177 KachelY 58932 0.55803345 0.31141618 31.972962 17.842833
    Unten links KachelX 77176 KachelY + 1 58933 0.55798551 0.31137054 31.970215 17.840218
    Unten rechts KachelX + 1 77177 KachelY + 1 58933 0.55803345 0.31137054 31.972962 17.840218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31141618-0.31137054) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dl = 290.772440000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31141618-0.31137054) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dr = 290.772440000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55798551-0.55803345) × cos(0.31141618) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951900597106706 × 6371000     		do = 290.73494427824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55798551-0.55803345) × cos(0.31137054) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951914580531039 × 6371000     		du = 290.739215175965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31141618)-sin(0.31137054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951900597106706-0.951914580531039)×R²
    abs(0.55803345-0.55798551)×1.39834243325643e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39834243325643e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39834243325643e-05×40589641000000     		ar = 84538.3300854442m²