Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77174 / 59069
↖ ↑ ↗
← N 17.484291°
E 31.964722°		 ← 291.25 m → N 17.484291°
E 31.967468°		 →
↑
291.28 m
↓
↑
291.28 m
↓
N 17.481672°
E 31.964722°		 ← 291.26 m →
84 838 m²		 N 17.481672°
E 31.967468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588794708251953 y=0.450664520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588794708251953 × 217)
    floor (0.588794708251953 × 131072)
    floor (77174.5)     		tx = 77174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450664520263672 × 217)
    floor (0.450664520263672 × 131072)
    floor (59069.5)     		ty = 59069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77174 / 59069 ti = "17/77174/59069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77174/59069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77174 ÷ 217
    77174 ÷ 131072     		x = 0.588790893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59069 ÷ 217
    59069 ÷ 131072     		y = 0.450660705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588790893554688 × 2 - 1) × π
    0.177581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55788964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450660705566406 × 2 - 1) × π
    0.0986785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.310007929842903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55788964} λ = 0.55788964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310007929842903))-π/2
    2×atan(1.36343592592201)-π/2
    2×0.937977389822121-π/2
    1.87595477964424-1.57079632675     		φ = 0.30515845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55788964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.964722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30515845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.484291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77174 KachelY 59069 0.55788964 0.30515845 31.964722 17.484291
    Oben rechts KachelX + 1 77175 KachelY 59069 0.55793757 0.30515845 31.967468 17.484291
    Unten links KachelX 77174 KachelY + 1 59070 0.55788964 0.30511273 31.964722 17.481672
    Unten rechts KachelX + 1 77175 KachelY + 1 59070 0.55793757 0.30511273 31.967468 17.481672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30515845-0.30511273) × R
    4.57200000000269e-05 × 6371000     		dl = 291.282120000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30515845-0.30511273) × R
    4.57200000000269e-05 × 6371000     		dr = 291.282120000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55788964-0.55793757) × cos(0.30515845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953799359140482 × 6371000     		do = 291.254108520015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55788964-0.55793757) × cos(0.30511273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953813094457389 × 6371000     		du = 291.258302764268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30515845)-sin(0.30511273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953799359140482-0.953813094457389)×R²
    abs(0.55793757-0.55788964)×1.37353169071819e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37353169071819e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37353169071819e-05×40589641000000     		ar = 84837.7250575199m²